已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,过侧棱PA与底面的中心O做截面PAD,若△PAD满足PA=AD求⑴侧面与底面所成角的余弦值⑵正三棱锥P-ABC的侧面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 05:05:26

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,过侧棱PA与底面的中心O做截面PAD,若△PAD满足PA=AD求⑴侧面与底面所成角的余弦值⑵正三棱锥P-ABC的侧面积
已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,过侧棱PA与底面的中心O做截面PAD,若△PAD满足PA=AD
求⑴侧面与底面所成角的余弦值
⑵正三棱锥P-ABC的侧面积

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,过侧棱PA与底面的中心O做截面PAD,若△PAD满足PA=AD求⑴侧面与底面所成角的余弦值⑵正三棱锥P-ABC的侧面积
^2是平方,S代表面积
由于截面PAD过PA以及点O,所以联结并延长AO,与BC所得的交点就是点D
1) 由于O是正三角形ABC的中心,AD过O
所以AD是BC边上的中线,也是BC边上的高
则CD=BC/2=a/2,AD=√(AC^2-CD^2)=√(a^2-(a/2)^2)=√3a/2
所以PA=AD=√3a/2,而且由于O是重心,OD=AD/3=√3a/6
看一下侧面PBC和底面ABC所成的二面角
已证D是BC中点,又正三棱锥P-ABC中有PB=PC,所以PD⊥BC
而已证OD⊥BC,所以∠PDO就是所求的二面角,cos∠PDO即为所求
联结OP,由于O是正三棱锥P-ABC底面ABC的中心
所以OP⊥平面ABC,即PO⊥OD
所以在Rt△POD中,∠POD=90°,所求的cos∠PDO=OD/PD
以求得OD,只需求PD
已证PD⊥BC,而PB=PA=√3a/2,CD=a/2
所以PD=√(PC^2-CD^2)=√((√3a/2)^2-(a/2)^2)=√2a/2
则cos∠PDO=OD/PD=√3a/6/(√2a/2)=√6/6
即侧面与底面所成角的余弦值为√6/6

2) 正三棱锥P-ABC的侧面积为S△PAB+S△PBC+S△PCA
由于S△PAB=S△PBC=S△PCA,所以侧面积即为3S△PBC
上一小题已证PD⊥BC,PD=√2a/2,BC=a
所以3S△PBC=3*PD*BC/2=3*√2a/2*a/2=3√2a^2/4