作业帮欧拉线的性质
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:22:15
欧拉线的性质
欧拉线的性质
欧拉线的性质
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.
欧拉线的证明：
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’.∵ BD是直径,∴ ∠BAD、∠BCD是直角.∴ AD⊥AB,DC⊥BC.∵ CH⊥AB,AH⊥BC,∴ DA‖CH,DC‖AH.∴ 四边形ADCH是平行四边形,∴ AH=DC.∵ M是BC的中点,O是BD的中点.∴ OM= DC.∴ OM= AH.∵ OM‖AH,∴ △OMG’ ∽△HAG’.∴ .∴ G’是△ABC的重心.∴ G与G’重合.∴ O、G、H三点在同一条直线上.
在平面几何中,欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线.莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
[编辑]证明
如图,H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心,连AH,作△ABC的外接圆直径BOD,再连DB、DA,则DC⊥BC…①,DA⊥AB…②
∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③,CH⊥AB…④
由①、③可知DC‖AH,由②、④可知DA‖CH,故四边形ADCH为平行四边形,∴AH=DC.∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM,即AH=2OM.作BC边上的中线AM,连OM、OH；设OH交AM与点G’
∵OM⊥BC,△AHG’∽△MOG’,∴AG’=2G’M,因此G’即△ABC重心G.
故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线,直线HGO即欧拉线.
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