施瓦茨不等式如何证明平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 18:30:47

施瓦茨不等式如何证明平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
施瓦茨不等式如何证明平方在这写成^2
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

施瓦茨不等式如何证明平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
设x=(x1,x2...xn)
y=(y1,y2...yn)
则[x,y]^2=(x1y1+x2y2+...xnyn)^2
[x,x]*[y,y]=(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)
首先构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0
z是未知数,其他的是参数.
我们知道这个方程最多只有一个解,这个方程可以改成
(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2-2*=(x1y1+x2y2+...xnyn)*z+(y1^2+y2^2+...+yn^2)=0
那么它的Δ

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柯西—施瓦茨不等式
开放分类：数学、不等式
柯西—施瓦茨不等式
数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
柯西—施瓦茨不等式说，若x和y是实或复内积空间的元素，那麼
$\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$ 。
等式成立当且仅当x和y是线性相关。
柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的写法表示：
$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\,$ 。
证明
实内积空间的情形：
注意到y = 0时不等式显然成立，所以可假设 $\langle y,y\rangle$ 非零。对任意 $\lambda \in \mathbb$ ，可知
$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle$
$= \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle$
$= (\langle x,x\rangle - \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \langle y,y \rangle)$
$= (\|x\|^2- \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \|y\|^2)$ 。
现在取值 $\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^$ ，代入后得到
$0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^$ 。
因此有
$\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|$ 。
复内积空间的情形
证明类上。对任意 $\lambda \in \mathbb$ ，可知
$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle$
$= \langle x-\lambda y,x \rangle - \overline\lambda \langle x-\lambda y,y \rangle$
$= (\|x\|^2 - \lambda \overline{\langle x,y \rangle}) - \overline\lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \|y \|^2)$ 。
现在取值 $\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^$ ，代入后得到
$0 \leq \|x\|^2 - \big| \langle x,y \rangle \big|^2 \cdot \|y\|^$ ，
因此有
$\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|$ 。
特例
对欧几里得空间Rn，有
$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)$ 。
对平方可积的复值函数，有
$\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx$ 。
这两例可更一般化为赫尔德不等式。
在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至等式
$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2$ 。
[编辑]参见

http://baike.baidu.com/view/979424.htm

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