作业帮已知n 为一个正整数,且2的n次方减1 是一个质数,求证n也是质数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 22:11:03
已知n 为一个正整数,且2的n次方减1 是一个质数,求证n也是质数.
已知n 为一个正整数,且2的n次方减1 是一个质数,求证n也是质数.
已知n 为一个正整数,且2的n次方减1 是一个质数,求证n也是质数.
用反证法：
假设n不是质数,则n肯定可以分解为两个大于1的数相乘
设n=a×b（a,b都是大于1的正整数）
则2的n次方减1,就是2的ab次方减1
设m=2的a次方,因为a>1,所以m>2
2的n次方减1,可变换为m的b次方减1
当b为奇数时,
m的b次方减1
=(m-1)(m的b-1次方 - m的b-2次方 + m的b-3次方 -……- m + 1）
当b为偶数时,
m的b次方减1
=(m-1)(m的b-1次方 - m的b-2次方 + m的b-3次方 -……+ m - 1）
无论b是奇数或者偶数,m的b次方减1 都能被 m-1 整除
上面提到m>2,所以m-1>1
一个能被大于1的数整除的数,肯定不是质数
即2的n次方减1不是质数
这和题意相矛盾,所以假设不成立,n是质数
2^n-1可写成2进制:11111...1111共n位
用反证法
假设n为合数(n=p*q)
111...111(n位)能整除11..11(P位)
即2^n-1不是质数.
故如2＾n-1是质数，n必为质数
假设 n是合数 n=P*Q则 2^n-1=(2^P)^Q-1=(2^P-1)*(一大堆东西) 因为 P>=2 所以此时它是合数 矛盾 呵呵出来了
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