作业帮(sinx)^6+(sinx)^5在-2分之派到2分之派的定积分?如题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 09:01:32
(sinx)^6+(sinx)^5在-2分之派到2分之派的定积分?如题
(sinx)^6+(sinx)^5在-2分之派到2分之派的定积分?
如题
(sinx)^6+(sinx)^5在-2分之派到2分之派的定积分?如题
∫(- π/2→π/2) [sin⁶x + sin⁵x] dx
= ∫(- π/2→π/2) sin⁶x dx + ∫(- π/2→π/2) sin⁵x dx
前面偶函数,后面奇函数
= 2∫(0→π/2) sin⁶x dx + 0
= 2 * 5!/6! * π/2
= 2 * (5 * 3 * 1)/(6 * 4 * 2) * π/2
= 5π/16
和式第二部分因为是奇函数所以等于0，第一部分书上有公式
令f(x)=(sinx)^6，g(x)=(sinx)^5
则f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
∫(-π/2,π/2)f(x)dx=∫(-π/2,0)f(x)dx+∫(0,π/2)f(x)dx=2∫(0,π/2)f(x)dx
∫(-π/2,π/2)g(x)dx=∫(-π/2,0)g(x)dx+∫(0,π/2)g(x)dx==∫(π/2,0)g(x)dx+∫(0,π/2)g(...
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令f(x)=(sinx)^6，g(x)=(sinx)^5
则f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
∫(-π/2,π/2)f(x)dx=∫(-π/2,0)f(x)dx+∫(0,π/2)f(x)dx=2∫(0,π/2)f(x)dx
∫(-π/2,π/2)g(x)dx=∫(-π/2,0)g(x)dx+∫(0,π/2)g(x)dx==∫(π/2,0)g(x)dx+∫(0,π/2)g(x)dx=0
所以
∫(-π/2,π/2)f(x)+g(x)dx
=∫(-π/2,π/2)f(x)dx+∫(-π/2,π/2)g(x)dx
=2∫(0,π/2)f(x)dx
=2∫(0,π/2)(sinx)^6dx
根据瓦里士公式：
∫(0,π/2)(sinx)^6dx=(5*3*1)π/[2(6*4*2)]=5π/32
原式=5π/16
关于瓦里士公式：
∫(0,π/2)(sinx)^ndx=[(n-1)!!/n!!]*(π/2) n为偶数
=(n-1)!!/n!! n为奇数
其中(2n)!!=(2n)*(2n-2)*(2n-4)*...*2
(2n-1)!!=(2n-1)*(2n-3)*(2n-5)*...*1
且规定0!!=1
例如：6!!=6*4*2
5!!=5*3*1
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