求救!一道高数题（用微分解）谢谢!设在一小岛上饲养梅花鹿,开始时只有10只.由于受到食物、生存空间等环境因素的限制,最多只能生存2500.已知鹿的处群数量N（t）的增长速度与“剩余空间

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:08:59

求救!一道高数题（用微分解）谢谢!设在一小岛上饲养梅花鹿,开始时只有10只.由于受到食物、生存空间等环境因素的限制,最多只能生存2500.已知鹿的处群数量N（t）的增长速度与“剩余空间
求救!一道高数题（用微分解）谢谢!
设在一小岛上饲养梅花鹿,开始时只有10只.由于受到食物、生存空间等环境因素的限制,最多只能生存2500.已知鹿的处群数量N（t）的增长速度与“剩余空间”（2500-N）成正比,5年后鹿群数量990只,试求鹿群数量N（t）的函数表达式.

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鹿的处群数量N（t）的增长速度与“剩余空间”（2500-N）成正比
dN(t)/dt=k(2500-N(t))
则微分方程为一阶非齐次方程：
则
N(t)=e^(-kt)(C+2500e^(kt))=Ce^(-kt)+2500
开始时只有10只
5年后鹿群数量990只
带入得：
C+2500=10
Ce^5k+2500=990
则,C=-2490
k=-0.1
所以：N（t)=2500-2490e(-0.1t)

dN(t)/dt=k(2500-N(t))
则dt=dN(t)/k(2500-N(t))
稍微化简得dt=-{d[1-N(t)/2500]/[1-N(t)/2500]}/k
得2500[1-e^-k(t+c)]=N(t)
在代入t=0时N(t)=10
t=5时N(t)=990

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