作业帮一道证明线段平行的证明题,在△ABC中,AM为△BC边的中线交BC于点M ,P为AM上一点,连接BP并延长到AC于点E ,连接CP延长到AB于点F.求证：FE‖BC.注意：我现在才初三,不要说什么塞瓦定理什么的.我们
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 23:32:28
一道证明线段平行的证明题,在△ABC中,AM为△BC边的中线交BC于点M ,P为AM上一点,连接BP并延长到AC于点E ,连接CP延长到AB于点F.求证：FE‖BC.注意：我现在才初三,不要说什么塞瓦定理什么的.我们
一道证明线段平行的证明题,
在△ABC中,AM为△BC边的中线交BC于点M ,P为AM上一点,连接BP并延长到AC于点E ,连接CP延长到AB于点F.求证：FE‖BC.
注意：我现在才初三,不要说什么塞瓦定理什么的.我们都还没学过.
一道证明线段平行的证明题,在△ABC中,AM为△BC边的中线交BC于点M ,P为AM上一点,连接BP并延长到AC于点E ,连接CP延长到AB于点F.求证：FE‖BC.注意：我现在才初三,不要说什么塞瓦定理什么的.我们
延长PM到点G,使MG=MP,连接BG,CG
∵PM=MG,BM=CM
∴四边形PBGC是平行四边形
∴PE‖BG
∴PE∶BG=AP∶AG,∠APE=∠AGB
同理可得：
PF‖CG
PF∶CG=AP∶AG,∠APF=∠AGC
∴EP∶BG=PF∶CG,∠EPF=∠BGC
∴△EPF∽△BGC
∴∠PEF=∠GBC
∵∠GBC=∠BCF
∴∠BCF=∠PEF
∴EF‖BC
证明：
作CG、BH垂直于EF垂足分别为G、H
则CG‖BH
∵M是中点
∴S(ABM)=S(ACM),S(PBM)=S(PCM)
∴S(ABM)-S(PBM)-S(AEF)=S(ACM)-S(PCM)-S(AEF)
即S(BEF)=S(CEF)
∴CG＝BH
∴四边形BCGH是矩形
∴BC‖EF
用S表三角形的面积
∵M是中点
∴S(ABM) = S(ACM),S(PBM) = S(PCM)
∴S(APB) = S(ABM) - S(PBM) = S(ACM) - S(PCM) = S(APC) ...1
又∵EP:EB = S(EPC):S(EBC) = S(AEP):S(AEB) = S(EPC) + S(AEP) : S(EBC) + S(AEB) ...
全部展开
用S表三角形的面积
∵M是中点
∴S(ABM) = S(ACM),S(PBM) = S(PCM)
∴S(APB) = S(ABM) - S(PBM) = S(ACM) - S(PCM) = S(APC) ...1
又∵EP:EB = S(EPC):S(EBC) = S(AEP):S(AEB) = S(EPC) + S(AEP) : S(EBC) + S(AEB) = S(APC) : S(ABC)
FP:FC = S(PFB):S(CFB) = S(PFA):S(CFA) = S(PFB) + S(PFA):S(CFB) + S(CFA) = S(APB):S(ABC) ...2
由1,2,知EP:EB = FP:FC
∴EP:PB = FP:PC,FE||BC,得证
收起
延长AM至G使MG=AM，连BG,CG
因为BM=CM
所以ABGC为平行四边形
所以AC‖BG,AB‖CG,∠CBG=∠ACB
所以AF/GC=AP/PG,AE/BG=AP/PG
所以AF/GC=AE/BG
所以△AEF∽△GBC
所以∠AEF=∠CBG
又∠CBG=∠ACB
所以∠AEF=∠ACB
所以FE‖BC