作业帮解析几何椭圆问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 04:48:17
解析几何椭圆问题
解析几何椭圆问题
解析几何椭圆问题
您做对了.首先,设椭圆的方程为mx²+ny²=1,与y=x+1联立,整理得mx²+n(x+1)²=1,得x1+x2=-2n/(m+n),x1x2=(n-1)/(m+n).再根据题中给的两个条件,即OP⊥OQ,得到y1y2/x1x2=-1,（y1=x1+1,y2=x2+1）,整理得（m+n-2)/(m+n）=0,因为m+n≠0,所以m+n-2=0,即m+n=2.再由另一个条件,即PQ²=10/4,得（x1-x2）²+（y1-y2）²=10/4,整理得2[（x1+x2）²-4x1x2]=10/4,整理得16（m+n-mn）=5（m+n）²,再将m+n=2代入,解得m=3/2,n=1/2或m=1/2,n=3/2,因为椭圆的焦点在x轴上,所以1/m>1/n,即m
由题意，设椭圆的方程为： x²/a²＋y²/b²=1
设点P的坐标为(x1，x1＋1)，点Q的坐标为(x2，x2＋1)
∵OP⊥OQ
∴kOP•kOQ=[(x1＋1)－0]/(x1－0) • [(x2＋1)－0]/(x2－0)=(x1＋1)(x2＋1)/x1x2=-1
即：2x1x2＋x1＋x2＋1=0...
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由题意，设椭圆的方程为： x²/a²＋y²/b²=1
设点P的坐标为(x1，x1＋1)，点Q的坐标为(x2，x2＋1)
∵OP⊥OQ
∴kOP•kOQ=[(x1＋1)－0]/(x1－0) • [(x2＋1)－0]/(x2－0)=(x1＋1)(x2＋1)/x1x2=-1
即：2x1x2＋x1＋x2＋1=0........①
∵|PQ|=√10/2
∴√(x2－x1)²＋[(x2＋1)－(x1＋1)]²=√(x2－x1)²＋(x2－x1)²=√2(x2－x1)²=√10/2
即：(x2－x1)²=5/4.......②
∵直线与椭圆相交与点P、Q
∴b²x²＋a²(x＋1)²=a²b² ，即 ：(b²＋a²)x²＋2a²x＋a²－a²b²=0
根据韦达定理，有：x1＋x2=-2a²/(b²＋a²) ， x1x2=(a²－a²b²)/(b²＋a²)
代回①： 2[(a²－a²b²)/(b²＋a²)]＋[-2a²/(b²＋a²)]＋1=0
整理后：-2a²b²/(b²＋a²)=-1 ， 即： 2a²b²=b²＋a².....③
∴x1＋x2=-1/b² ， x1x2=(1－b²)/2b²
代回②：(x2－x1)²=(x2＋x1)²－4x1x2=(-1/b²)²－4•[(1－b²)/2b²]=(4－8b²＋8b^4)/4b^4=5/4
解得：b²=2/3或b²=2
代回③，解得：a²=2或a²=2/3
∴椭圆的标准方程为：x²/2＋y²/(2/3)=1
收起
竟然是小题～好像计算量很大的样子