作业帮已知双曲线方程x^2-4y^2=4上一点M,与双曲线的两焦点AB构成三角形,又向量MA·向量MB=3,求△AMB的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 08:56:11
已知双曲线方程x^2-4y^2=4上一点M,与双曲线的两焦点AB构成三角形,又向量MA·向量MB=3,求△AMB的面积
已知双曲线方程x^2-4y^2=4上一点M,与双曲线的两焦点AB构成三角形,又向量MA·向量MB=3,求△AMB的面积
已知双曲线方程x^2-4y^2=4上一点M,与双曲线的两焦点AB构成三角形,又向量MA·向量MB=3,求△AMB的面积
双曲线的半焦距c=±√(4+1)=±√5,
设左焦点为A(-√5,0) 右焦点为B(√5.0).
又设M(x1,y1).
向量MA=(-√5-x1,-y1)
向量MB=(√5-x1,-y1).
向量MA.向量MB=(-√5-x1)(√5-x1)+(-y)(-y).
=(x1+√5)(x1-√5)+y1^2
=x1^2+y1^2-5=3.
x1^2+y1^2=8. (1)
∵M(x1,y1)在双曲线上,∴ x1^2-4y1^2=4 (2)
(1)-(2)：5y1^2=4.
y1^2=4/5.
y1 =±2√5/5.
x1^2+y1^2=8
x1^2=8-4/5=36/5
x1=±6√5/5.
S△AMB=(1/2)*2|c|*|y1|.
=(1/2)*2*√5*2√5/5.
=2 (面积单位). ----即为所求.
√
则c=√5 a=2
设MA比MB长，反正对答案无影响
则MA-MB=2a=4
向量MA·向量MB=MA×MB×cos∠AMB=（MA²+MB²-AB²）/2=3
即得MA²+MB²=26
则MA×MB=(MA²+MB²-(MA-MB)²）/2=5
则cos∠AMB=3/5...
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则c=√5 a=2
设MA比MB长，反正对答案无影响
则MA-MB=2a=4
向量MA·向量MB=MA×MB×cos∠AMB=（MA²+MB²-AB²）/2=3
即得MA²+MB²=26
则MA×MB=(MA²+MB²-(MA-MB)²）/2=5
则cos∠AMB=3/5
则sin∠AMB=4/5
则S=（1/2）×MA×MB×sin∠AMB=2
不懂再问！
收起
同意第二个人