设数列a[n]满足a[1]＝2,a[n+1]=λa[n]+2^n,n属于全体实数,λ为常数,（2）是否存在实数λ,使得数列a[n]为等差数列,若存在,求数列a[n]的通项公式,若不存在,请说理由；（3）设λ＝1,b[n]=(4n-7)/a[n],数列b[n]

设数列a[n]满足a[1]＝2,a[n+1]=λa[n]+2^n,n属于全体实数,λ为常数,（2）是否存在实数λ,使得数列a[n]为等差数列,若存在,求数列a[n]的通项公式,若不存在,请说理由；（3）设λ＝1,b[n]=(4n-7)/a[n],数列b[n]
设数列a[n]满足a[1]＝2,a[n+1]=λa[n]+2^n,n属于全体实数,λ为常数,
（2）是否存在实数λ,使得数列a[n]为等差数列,若存在,求数列a[n]的通项公式,若不存在,请说理由；
（3）设λ＝1,b[n]=(4n-7)/a[n],数列b[n]的前n项和为S[n],求满足S[n]>0的最小自然数n的值

设数列a[n]满足a[1]＝2,a[n+1]=λa[n]+2^n,n属于全体实数,λ为常数,（2）是否存在实数λ,使得数列a[n]为等差数列,若存在,求数列a[n]的通项公式,若不存在,请说理由；（3）设λ＝1,b[n]=(4n-7)/a[n],数列b[n]
（2）a[n+1]=λa[n]+2^n
a[n]=λa[n]+2^(n-1)
相减,假设为等差,则d=λd+2^(n-1)
若使上式成立,显然λ≠1,于是d=2^(n-1)/(1-λ),不是恒为常数
a[n]不是等差数列
（3）λ≠1时
a[n]=a[n-1]+2^(n-1)
a[n-1]=a[n-2]+2^(n-2)
...
a[2]=a[1]+2^1
两边相加有
a[n]=a[1]+2^1+...+2^(n-1)=2+2^n-2=2^n
b[n]=(4n-7)/a[n]=4n*(1/2)^n-7*(1/2)^n
前面一个设为c[n]=4n*(1/2)^n,后面一个设为d[n]=-7*(1/2)^n
c[n]为标准的等差比数列,
设 W[n]=c[1]+...+c[n]=4*1*(1/2)+4*2*(1/2)^2+...+4n *(1/2)^n
则 (1/2)*W[n]= 4*1*(1/2)^2+...+4(n-1)*(1/2)^n+4n*(1/2)^(n+1)
W[n]-(1/2)*W[n]=2+4*((1/2)^2+...+(1/2)^n)-4n*(1/2)^(n+1)
∴W[n]=8-(8+4n)*(1/2)^n
d[n]为标准的等比数列,其和T[n]=-7+7*(1/2)^n
于是:S[n]=W[n]+T[n]=1-(1+4n)*(1/2)^n
S[n]>0,1-(1+4n)*(1/2)^n>0
即2^n-4n-1>0
设数列U[n]=2^n-4n-1
则U[n-1]=2^(n-1)-4(n-1)-1
U[n]-U[n-1]=2^(n-1)-4
当n>=4时,U[n]递增,易知n>=5时2^n-4n-1>0
所以最小的n为5

假设存在
且公差为d
则 a[n+1]- a[n]=λa[n]+2^n- a[n]= （λ-1）a[n] + 2^n
=（λ-1）a[1] +（λ-1）(n-1)d +2^n
...

全部展开

假设存在
且公差为d
则 a[n+1]- a[n]=λa[n]+2^n- a[n]= （λ-1）a[n] + 2^n
=（λ-1）a[1] +（λ-1）(n-1)d +2^n
=2（λ-1)+（λ-1）(n-1)d +2^n 应恒为常数 d
但不管λ取何值 都不可能使参数n消掉，恒为0 d都会随n变化而变化
故不存在
当λ＝1 a[n+1]- a[n]= 2^n
a[n]- a[n-1]= 2^(n-1)
........
a[2] - a[1] =2
全部相加 a[n+1] -a[1] =a[n+1] -2= 2 +4 +8+.....+2^n= 2^(n+1)-2
故 a【n】=2^n
b[n]=(4n-7)/a[n]=(4n-7)/2^n
可以看出b[n]出了第一项为负数 其他项为正数
b[n] -3/2 1/4 5/8 9/16 13/32
到第五项 S【n】开始大于0
而S【n】随n越大，越加越大 （出了第一项为负数 其他项为正数）
故 最小自然数n的值 为5

收起