已知数列{An}满足a1=1,a2=5,an+1=5an-4an-1,(n≥2),求an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 10:42:54

已知数列{An}满足a1=1,a2=5,an+1=5an-4an-1,(n≥2),求an
已知数列{An}满足a1=1,a2=5,an+1=5an-4an-1,(n≥2),求an

已知数列{An}满足a1=1,a2=5,an+1=5an-4an-1,(n≥2),求an

【1】
由题设可得:
a1=1, a2=5, a3=21, a4=85
【2】
构造数列:
bn=[a(n+1)]-(an). n=1,2,3,
易知,b1=4, b2=16, b3=64.
且由题设可得:bn=4b(n-1), n≥2
∴通项:bn=4^n. n=1,2,3.
【3】
由上面结果可知:
[a(n+1)]-(an)=4^n. n=1,2,3,
具体点,就是:
(a2)-(a1)=4¹
(a3)-(a2)=4²
(a4)-(a3)=4³
.
(an)-[a(n-1)]=4^(n-1)
上面式子累加,可得:
(an)-(a1)=4{[4^(n-1)]-1}/3
∴an=[(4^n)-1]/3.
经检验,通项为:
an=[(4^n)-1]/3, n=1,2,3,

(an+1 - an) = 4(an-an-1)
可得an-an-1 = 4^n-2;
联立可得an-a1 = 4+4^2+.......+4^n-2
可求得An(n>2)