作业帮高分求证一道高中不等式已知a,b,c为正实数,且a+b+c≥1/a+1/b+1/c 求证：a+b+c≥3/abc越快越好,好的有加分!O(∩_∩)O~不是这个啊~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/17 06:14:49
高分求证一道高中不等式已知a,b,c为正实数,且a+b+c≥1/a+1/b+1/c 求证：a+b+c≥3/abc越快越好,好的有加分!O(∩_∩)O~不是这个啊~
高分求证一道高中不等式
已知a,b,c为正实数,且a+b+c≥1/a+1/b+1/c
求证：a+b+c≥3/abc
越快越好,好的有加分!
O(∩_∩)O~
不是这个啊~
高分求证一道高中不等式已知a,b,c为正实数,且a+b+c≥1/a+1/b+1/c 求证：a+b+c≥3/abc越快越好,好的有加分!O(∩_∩)O~不是这个啊~
解答请见附件图片(点击可以放大)
饿，题目好着捏？？
1/a+1/b+1/c =(ab+bc+ac)/abc
所以原命题可以转化为
求证ab+bc+ac<=3
可是......
不可能证明
证明：由abc=1带入
有(1/a^2)+(1/b^2)+(1/c^2)=abc/a^2+abc/b^2+abc/c^2=bc/a+ac/b+ab/c
=1/2[(bc/a)+(ac/b)]+1/2[(bc/a)+(ab/c)]+1/2[(ac/b)+(ab/c)]
再根据基本不等式有
[(bc/a)+(ac/b)]>=2根号下[(bc/a)*(ac/b)]=2c<...
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证明：由abc=1带入
有(1/a^2)+(1/b^2)+(1/c^2)=abc/a^2+abc/b^2+abc/c^2=bc/a+ac/b+ab/c
=1/2[(bc/a)+(ac/b)]+1/2[(bc/a)+(ab/c)]+1/2[(ac/b)+(ab/c)]
再根据基本不等式有
[(bc/a)+(ac/b)]>=2根号下[(bc/a)*(ac/b)]=2c
[(bc/a)+(ab/c)]>=2根号下[(bc/a)*(ab/c)]=2b
[(ac/b)+(ab/c)]>=2根号下[(ac/b)*(ab/c)]=2a
再把上面的3个式子相加得到
(1/a2)+(1/b2)+(1/c2)>=a+b+c
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