作业帮高一数学函数奇偶性问题,在线等已知函数f(x)对任意非零实数x,y,总有f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,求证：y=f(x)为奇函数.任意非零实数x,y X Y 不能等于0啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 12:40:18
高一数学函数奇偶性问题,在线等已知函数f(x)对任意非零实数x,y,总有f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,求证：y=f(x)为奇函数.任意非零实数x,y X Y 不能等于0啊
高一数学函数奇偶性问题,在线等
已知函数f(x)对任意非零实数x,y,总有f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,求证：y=f(x)为奇函数.
任意非零实数x,y X Y 不能等于0啊
高一数学函数奇偶性问题,在线等已知函数f(x)对任意非零实数x,y,总有f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,求证：y=f(x)为奇函数.任意非零实数x,y X Y 不能等于0啊
令x=y=0,则x+y=0
所以f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
令y=-x,则x+y=0
所以f(0)=f(x)+f(-x)
所以f(-x)=-f(x)
所以是奇函数
令x＝0，y＝0
f（x）＝0
令x＝－y
f（－y）＝－f（y）
所以是奇函数
证明：
函数f(x)对任意非零实数x,y总有f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立
则令y=-x得
f(0)=f(x)+f(-x)
又可令x=y=0得
f(0)=f(0)+f（0）
所以f（0）=0
即可知f(x)+f(-x)=0
y=f(x)为奇函数。
令x=0,y=0
则f(0)=2f(0)
所以f(0)=0
令y=-x
则f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以y=f(x)为奇函数
f(0+0)=f(0)+f(0)
则f（0）=0
f（-x+x）=f（-x）+f（x）=f（0）
即f（x）=-f（-x）
即f（x）是奇函数
很简单， 我来告诉你。
f(x+y)=f(x)+f(y)
那么另y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
然后另x=y=0
f(x+y)=f(x)+f(y) f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)+f(-x)=f(x)+f(-x)+f(x)+f(-x)
所以 f(x)=-f(-x)
所以函数是奇函数