求下列幂级数的和函数~

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:02:57

求下列幂级数的和函数~
求下列幂级数的和函数~

求下列幂级数的和函数~
收敛半径 R = lim a/a
= lim n[(n+1)^2-1]/[(n^2-1)(n+1)]=1.
当 x=1 时,幂级数为
∑ n/(n^2-1) > ∑ 1/n, 故发散；
当 x=-1 时,幂级数为交错级数 ∑ (-1)^n*n/(n^2-1) , 故收敛.
得收敛域 x∈[-1,1).
n/(n^2-1)=(1/2)[1/(n+1)+1/(n-1)], 得
S(x) = ∑ nx^(n+1)/(n^2-1)
= (1/2)[∑ x^(n+1)/(n+1)+(1/2)∑ x^(n+1)/(n-1)]
=(1/2)[S1(x)+S2(x)].
[S1(x)]'= ∑ x^n = x^2/(1-x),
S1(x) = ∫<0,x> u^2/(1-u)du = -x^2/2-x-ln(1-x).
S2(x)=∑ x^(n+1)/(n-1) = ∑ x^(n+2)/n
= x^2∑ x^n/n = x^2S3(x),
[S3(x)]'= ∑ x^(n-1) = 1/(1-x),
S3(x) = ∫<0,x> 1/(1-t)dt = -ln(1-x),
S2(x) = -x^2ln(1-x),
S(x) = (1/2)[S1(x)+S2(x)] = (1/2)[-x^2/2-x-ln(1-x)-x^2ln(1-x)].
x∈[-1,1).

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