作业帮8.曲线y=x½在点P（M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为是Y=X的2分之1次方急用 谢谢 解答详细有追加
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 04:16:57
8.曲线y=x½在点P（M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为是Y=X的2分之1次方急用 谢谢 解答详细有追加
8.曲线y=x½在点P（M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为
是Y=X的2分之1次方
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8.曲线y=x½在点P（M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为是Y=X的2分之1次方急用 谢谢 解答详细有追加
因为切点P的坐标为(m,sqrt(m))(注：表数字的字母最好小写)
则切线斜率为1/[2 sqrt(m)](用导数较快,用判别式了也行),
切线方程为 y - sqrt(m) =1/(2 sqrt(m))(x-m).
令x=0,得y1=sqrt(m)/2,令x=1,得y2=sqrt(m)/2+1/[2sqrt(m)]
所围图形(直角梯形)的面积S = 1/2 × (y1+y2) ×1
= 1/2×{sqrt(m)+1/[2sqrt(m)]}≥sqrt(2)/2,
当且仅当sqrt(m)=1/[2sqrt(m)],即m=1/2时,所求面积的最小值为sqrt(2)/2(即2分之根号2).
p点是不是在曲线上？如果不在比较麻烦，切线可以是一条也可以是两条，找最小的。以下答案是p点在曲线上，较普遍。最终结果在与不在曲线上的比较，取最小即可
∵Y=X½可得，图像在 第一象限
∴切线斜率为正，设为k
又∵已知p（M,N)在
则切线方程为y-N=k(x-M)
联立Y=X½
y-N=k(x-M)
与x=0交点（...
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p点是不是在曲线上？如果不在比较麻烦，切线可以是一条也可以是两条，找最小的。以下答案是p点在曲线上，较普遍。最终结果在与不在曲线上的比较，取最小即可
∵Y=X½可得，图像在 第一象限
∴切线斜率为正，设为k
又∵已知p（M,N)在
则切线方程为y-N=k(x-M)
联立Y=X½
y-N=k(x-M)
与x=0交点（0，N-kM）
与x=1交点（1，N-kM+k)
梯形面积通式s=½（N-kM+N-kM+k)
解得s=N+½（1-2M）×k
s最小，则k最小
当p（1,1）点时，即k=0时
s=N
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设p点坐标为（x0,sqrt(x0)）
则切线斜率为1/(2 sqrt(x0))，切线方程为 y - sqrt(x0) =1/(2 sqrt(x0)) × (x-x0)
切线与y轴交于点（0,1/2 sqrt(x0) ) , 与 直线 x=1交点为 （1,1/2 sqrt(x0) +1/（2 sqrt(x0) )
所围图形(梯形)面积 S(x0) = 1/2 ×...
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设p点坐标为（x0,sqrt(x0)）
则切线斜率为1/(2 sqrt(x0))，切线方程为 y - sqrt(x0) =1/(2 sqrt(x0)) × (x-x0)
切线与y轴交于点（0,1/2 sqrt(x0) ) , 与 直线 x=1交点为 （1,1/2 sqrt(x0) +1/（2 sqrt(x0) )
所围图形(梯形)面积 S(x0) = 1/2 ×( 1/2 sqrt(x0) + 1/2 sqrt(x0) +1/（2 sqrt(x0) ) ×1
=1/2 ×( sqrt(x0) + 1/（2 sqrt(x0) )
≥1/2 ×2×sqrt【sqrt(x0) ×1/（2 sqrt(x0)】
= sqrt（2）/ 2
等号成立当且仅当sqrt(x0) =1/（2 sqrt(x0) ) 即 x0=1/2 时 面积达到最小：sqrt（2）/ 2
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