作业帮证明:4能被1^5+2^5+3^5+...+1992^5所整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:43:05
证明:4能被1^5+2^5+3^5+...+1992^5所整除
证明:4能被1^5+2^5+3^5+...+1992^5所整除
证明:4能被1^5+2^5+3^5+...+1992^5所整除
1^5=1 mod 4=1
2^5mod 4= 0
3^5=(-1)^5mod4=3
4^5 mod4=0
mod表示取余数 1mod4表示1除4所得的余数
所以1^5+3^5 mod 4=0(1^5+3^5能被4整除)
根据同余性质
如果若a≡b（mod m）,那么a的n次方和b的n次方也对于m同余.
因为1≡5≡9≡.≡1989 mod 4=1
所以1^5≡5^5≡9^5≡.≡1989^5 mod 4=1
同理3^5≡7^5≡11^5≡.≡1991^5 mod 4=3
因为（1^5+2^5+3^5+4^5)可以被4整除
所以（5^5+6^5+7^5+8^5)可以被4整除,所以.（1989^5+1990^5+1991^5+1992^5)
所以它们的和可以被4整除
最喜欢初等数论的题目
非常赞同 “AngelisI”的同余法
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我再提供另一种更加通俗的奇偶分析法：
首先对数列进行分析
将1~1992分为奇偶两列
偶数列2,4,6,8……,1990,1992
（2n）^5 = 2^5×n^5 = 32×n^5
所以偶数列的每个数的5次方都一定会被4整除
奇数列每4个连续的数...
全部展开
最喜欢初等数论的题目
非常赞同 “AngelisI”的同余法
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我再提供另一种更加通俗的奇偶分析法：
首先对数列进行分析
将1~1992分为奇偶两列
偶数列2,4,6,8……,1990,1992
（2n）^5 = 2^5×n^5 = 32×n^5
所以偶数列的每个数的5次方都一定会被4整除
奇数列每4个连续的数为1组
1,3,5,7；9,11,13,15；……；1985,1987,1989,1991
建立分析式a^5+(a+2)^5+(a+4)^5+(a+6)^5
则a=1,2,3,…397分别对应奇数列的每一组
计算此分析式 得4a^5+44a^3+360a^2+2704^a+8832 (a^4项系数为0)
该结果的每一项系数都可以被4整除
所以a^5+(a+2)^5+(a+4)^5+(a+6)^5可以被4整除
即奇数列每一组都可以被被4整除
综上所述 1^5+2^5+3^5+...+1992^5就可以被4整除了
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个人意见 仅供参考
收起
最喜欢初等数论的题目
非常赞同 “AngelisI”的同余法
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我再提供另一种更加通俗的奇偶分析法：
首先对数列进行分析
将1~1992分为奇偶两列
偶数列2,4,6,8……,1990,1992
（2n）^5 = 2^5×n^5 = 32×n^5
所以偶数列的每个数的5次方都一定会被4整除
奇数列每4个连续的数...
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最喜欢初等数论的题目
非常赞同 “AngelisI”的同余法
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我再提供另一种更加通俗的奇偶分析法：
首先对数列进行分析
将1~1992分为奇偶两列
偶数列2,4,6,8……,1990,1992
（2n）^5 = 2^5×n^5 = 32×n^5
所以偶数列的每个数的5次方都一定会被4整除
奇数列每4个连续的数为1组
1,3,5,7；9,11,13,15；……；1985,1987,1989,1991
建立分析式a^5+(a+2)^5+(a+4)^5+(a+6)^5
则a=1,2,3,…397分别对应奇数列的每一组
计算此分析式 得4a^5+44a^3+360a^2+2704^a+8832 (a^4项系数为0)
该结果的每一项系数都可以被4整除
所以a^5+(a+2)^5+(a+4)^5+(a+6)^5可以被4整除
即奇数列每一组都可以被被4整除
综上所述 1^5+2^5+3^5+...+1992^5就可以被4整除了
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个人意见 仅供参考
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