正四棱锥的侧棱柱与底面角成45度角,则侧面与底面所成的二面角的正弦值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 04:30:19

正四棱锥的侧棱柱与底面角成45度角,则侧面与底面所成的二面角的正弦值
正四棱锥的侧棱柱与底面角成45度角,则侧面与底面所成的二面角的正弦值

正四棱锥的侧棱柱与底面角成45度角,则侧面与底面所成的二面角的正弦值
设正四棱锥为P-ABCD,则有题意,PA与底面ABCD成45度∠.
自P做PH垂直于底面ABCD,因为是正四棱锥,H必为正方形ABCD的中心.
连接HA,则∠PAH=45度,而∠PHA=Rt∠,所以,PH=HA.
取AB中点M,连接HM,PM,则HM垂直于AB,（由正方形性质）
而PH垂直于AB,所以,AB垂直于平面PHM,所以,PM垂直于AB,
所以,∠PMH即为二面角P-AB-H的平面角,即侧面与底面所成的二面角的平面角.
而PH垂直于平面ABCD,所以,三角形PHM中,∠PHM=Rt∠.
在正方形ABCD中,HM=HA/√2=PH/√2,
所以,由勾股定理,PM^2=PH^2+HM^2=PH^2(1+1/2)=(3/2) PH
所以,最后,sin ∠PMH = PH/PM = √(2/3) = √6 / 3 .

根号下三分之二
用面积投影来解
设高为1，则侧面是边长为根号2，侧面面积为二分之根号三，投影在底面的是一个直角边为1的直角三角形，面积为三分之一.用投影的面积比上原面积就是余弦值根号下三分之一，再算正弦不对吧？答案是 3分之根六根号下三分之二分母有理化就对了是根号下（2/3），根号我不会打，上下同乘个根号三就是答案了...

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根号下三分之二
用面积投影来解
设高为1，则侧面是边长为根号2，侧面面积为二分之根号三，投影在底面的是一个直角边为1的直角三角形，面积为三分之一.用投影的面积比上原面积就是余弦值根号下三分之一，再算正弦

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