作业帮若函数f（x）=x（x-1）（x-a）有绝对值相等且符号相反的极大值和极小值,则a的值是多少?a一共有三个解啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 19:11:22
若函数f（x）=x（x-1）（x-a）有绝对值相等且符号相反的极大值和极小值,则a的值是多少?a一共有三个解啊
若函数f（x）=x（x-1）（x-a）有绝对值相等且符号相反的极大值和极小值,则a的值是多少?
a一共有三个解啊
若函数f（x）=x（x-1）（x-a）有绝对值相等且符号相反的极大值和极小值,则a的值是多少?a一共有三个解啊
f(x)=x（x-1）（x-a）
=x^3-(a+1)x^2+ax
求导得
f(x)'=3x^2-2(a+1)x+a
因为f(x)是一元三次方程,有图像可知其最多只有一个极大值与极小值,可设为f(x1)和f(x2),则
f(x1)+f(x2)=x1^3+x2^3-(a+1)(x1^2+x2^2)+a(x1+x2)
令f(x)'=3x^2-2(a+1)x+a=0则
x1+x2=2(a+1)/3
x1x2=a/3
x1^3+x2^3=(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=[2(a+1)/3]^3-3a/3[2(a+1)/3]
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=)=[2(a+1)/3]^2-2a/3
带入 f(x1)+f(x2)=x1^3+x2^3-(a+1)(x1^2+x2^2)+a(x1+x2)整理得
8/27(a+1)^3-4/9(a+1)^3+2/3[a(a+1)]=0
-4/27(a+1)^3+2/3[a(a+1)]=0
[-4/27(a+1)^2+2a/3](a+1)=0
-2/27(2a^2-5a+2)(a+1)=0解得
a1=-1,a2=1/2,a3=2
不知道结果对不对,过程应该没有问题了,
如果用图像判断,函数必经0,1点将a的范围分在小于0,大于0小于1,大于1三种情况,可知道有三解
恩,不好意思做错了,当时看的时候觉得应该有三解的,用图像很好看出来有三解的,
这里涉及到穿根法和函数的增减性。
手机党 只写思路 见谅 求导 令导函数等于零 显然必定是一个极大一个极小值点 将x1.2带入原方程 由题意可得方程 解之即可