作业帮线型代数 这个矩阵的转制 平方分别怎么求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 09:16:52
线型代数 这个矩阵的转制 平方分别怎么求
线型代数 这个矩阵的转制 平方分别怎么求
线型代数 这个矩阵的转制 平方分别怎么求
为记号简便,用A'表示A的转置,相应α‘表示α的转置.
首先明确α‘α是一个1*1矩阵,等同于一个数,且由α是非零实向量,有α‘α ≠ 0.
1) A' = (E-(2/(α‘α))αα')' = E'-(2/(α‘α))(αα')' = E-(2/(α‘α))αα'.
(只用了转置的基本性质(X+Y)' = X'+Y',(kX)' = kX',(XY)' = Y'X')
即有A' = A为实对称阵,因此A相似于对角阵,进而kE-A也相似于对角阵.
2) A² = (E-(2/(α‘α))αα')² = E²-E(2/(α‘α))αα'-(2/(α‘α))αα'E+((2/(α‘α))αα')²
= E-(4/(α‘α))αα'+(2/(α‘α))²(αα')² = E-(4/(α‘α))αα'+(2/(α‘α))²αα'αα'
= E-(4/(α‘α))αα'+(4/(α‘α)²)α(α'α)α' = E-(4/(α‘α))αα'+(4/(α‘α))αα' = E.
由此可知A的特征值满足x² = 1,只可能为±1.
kE-A的特征值只可能为k±1,而k ≠ ±1,故kE-A没有零特征值.
|kE-A| = kE-A的特征值之积 ≠ 0,因此kE-A可逆.
3) 设B = E-2αα',则B' = E'-2(αα')' = E-2αα' = B.
B为正交矩阵当且仅当B'B = E,即E = B² = (E-2αα')² = E-4αα'+αα'αα'
= E-4αα'+α(α'α)α' = E+(α'α-4)αα',也即(α'α-4)αα' = 0.
由α非零,有αα' ≠ 0,因此B为正交矩阵当且仅当α'α = 4.