作业帮问一个微分几何题,这些我都明白的，他说用z除以c平方乘这个方程，可以消去z和z的导数项，根本消不掉啊。我还找到一个答案，它解这个方程是把方程看成关于(x',y',z')的二次型，
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 05:00:52
问一个微分几何题,这些我都明白的，他说用z除以c平方乘这个方程，可以消去z和z的导数项，根本消不掉啊。我还找到一个答案，它解这个方程是把方程看成关于(x',y',z')的二次型，
问一个微分几何题,
这些我都明白的，他说用z除以c平方乘这个方程，可以消去z和z的导数项，根本消不掉啊。我还找到一个答案，它解这个方程是把方程看成关于(x',y',z')的二次型，然后能推出x=0,or y=0, or z=0, 然后只有y=0的情况可能，可是这个方程是关于x，z完全对称的啊，怎么能有这种结论呢。
问一个微分几何题,这些我都明白的，他说用z除以c平方乘这个方程，可以消去z和z的导数项，根本消不掉啊。我还找到一个答案，它解这个方程是把方程看成关于(x',y',z')的二次型，
解释下原文的答案：
令g(x,y,z)=x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - 1
则 g=0 就定义了原文中的椭球面.
g的梯度grad(g) = 2(x/a^2,y/b^2,z/c^2).对于椭球面的任意切向量v,由于在椭球面上g
是常数0,所以g在v方向的方向导数为0,也即 = v(g) = 0
这说明grad(g)垂直于椭球面.设N是椭球面的外向单位法向量.那么grad(g)和N方向相同,从而存在曲面上的函数f,使得grad(g)/2 = fN.即 (x/a^2,y/b^2,z/c^2)=fN.
二次基本形式II作为切空间的二次型,对任意的切向量v,w,有II(v,w) = .其中Dv(N)是N在v方向的（绝对）微分.对于脐点,有II=kI,其中k是脐点处的法曲率,I是一次基本形式.
所以脐点处任意切向量v,w,有 =II(v,w)=kI(v,w)=k=,从而Dv(N)=kv
于是对于曲面上任意曲线a,设v=da/dt是它的切向量,就有
d(fN)/dt = Dv(fN) = v(f)N+fDvN = v(f)N + fkv
从而 d(fN)/dt 与 v 的叉乘 d(fN)/dt x v = v(f)N x v
显然这个叉乘垂直于N,所以 < d(fN)/dt x v,N > = 0
这就是原文答案中的方程.解这个方程就得到了脐点的位置.