a>0b>0c>0则(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 01:06:17

a>0b>0c>0则(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c最小值
a>0b>0c>0则(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c最小值

a>0b>0c>0则(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c最小值
整理 原式 ( b/a + b/a ) + ( c/a + a/c) + ( c/b + b/c)
利用 均值不等式 >= 2 + 2 + 2 =6
( a=b=c 等号成立 ,三个均值能同时成立)
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由Cauchy不等式可得(或者利用调和平均数小于等于算术平均数)
1/a + 1/b + 1/c ≥9/(a+b+c)
所以(b+c)/a + 1 +(a+c)/b + 1 + (a+b)/c + 1 ≥ 9
所以(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c≥6
最小值为6,当a=b=c时取得