一道高二不等式``有关不等式数学题 给定函数F(x)=ax^2+bx+c以及G(x)=cx^2+bx+a,其中|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,求证:对于|x|≤1,|F(x)|≤5/4,|G(x)|≤2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:29:16

一道高二不等式``有关不等式数学题 给定函数F(x)=ax^2+bx+c以及G(x)=cx^2+bx+a,其中|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,求证:对于|x|≤1,|F(x)|≤5/4,|G(x)|≤2
一道高二不等式``
有关不等式数学题
给定函数F(x)=ax^2+bx+c以及G(x)=cx^2+bx+a,其中|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,
求证:对于|x|≤1,|F(x)|≤5/4,|G(x)|≤2

一道高二不等式``有关不等式数学题 给定函数F(x)=ax^2+bx+c以及G(x)=cx^2+bx+a,其中|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,求证:对于|x|≤1,|F(x)|≤5/4,|G(x)|≤2
此题有一定的难度!考查绝对值不等式的应用问题,对思维能力有一定的要求．具体解法如下：
由题意设F(1)=a+b+c=m,F(-1)=a-b+c=n,而F(0)=c
易可以反解出a=(m+n-2c)/2,b=(m-n)/2
又0≤x+1≤2,0≤1-x≤2
则|F(x)|=|(m+n-2c)/2x²+(m-n)/2x+c|
=|1/2mx(x+1)+1/2nx(x-1)+c(1-x²)|
≤|1/2mx(x+1)|+|1/2nx(x-1)|+|c(1-x²)|
≤1/2|x||x+1|+1/2|x||1-x|+|1-x²|=1+|x|-|x²|
=-(|x²|-1/2)²+5/4≤5/4
同理,|G(x)|=|cx²+(m-n)/2x+(m+n-2c)|
=|(x/2+1/2)m+(1/2-x/2)n+cx²|
=1/2|x+1|+1/2|1-x|+|x²|
=1/2x+1/2+1/2-1/2x+x²=x²+1≤2
不是很详细,请谅解!

Oh my god,看到数学就头疼....

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