设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 12:21:19

设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是?
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是?

设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是?
当n=1时
f(1)+1=g(1)f(1)
代入f(1)=1得
1+1=g(1)
g(1)=2
当n=2时
f(1)+f(2)+2=g(2)f(2)
代入f(1)=1,f(2)=3/2得
1+3/2+2=g(2)*3/2
g(2)=3
当n=3时
f(1)+f(2)+f(3)+3=g(3)f(3)
代入f(1)=1,f(2)=3/2,f(3)=11/6得
1+3/2+11/6+3=g(3)*11/6
g(3)=4
因此可猜测g(n)=n+1,下面用数学归纳法证明这个猜测：
当n=1时之前已证实g(n)=n+1成立
假设g(k)=k+1成立,只需证明g(k+1)=k+2成立即可
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k)+k=g(k)f(k)
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k+1)+k+1=g(k+1)f(k+1)
两式想减得
f(k+1)+1=g(k+1)f(k+1)-g(k)f(k)
f(k+1)g(k+1)=f(k+1)+1+g(k)f(k)
=f(k+1)+1+(k+1)f(k)
代入f(k+1)=f(k)+1/(k+1)得
(f(k)+1/(k+1))g(k+1)=f(k)+1/(k+1)+1+(k+1)f(k)
((k+1)f(k)+1)g(k+1)=(k+1)f(k)+1+k+1+(k+1)²f(k)
=(k+1)(k+2)f(k)+k+2
=(k+2)((k+1)f(k)+1)
显然(k+1)f(k)+1>0
所以g(k+1)=k+2,得证
所以由数学归纳法可得g(n)=n+1

设f(n)=1+2+3+.n,则(n-->+∞)limf(n)/[f(n)]= 设f(n)=1/n+1+1/n+2+1/n+3+……+1/3n(n∈N+),则f(n+1)-f(n)=? 设f(n)=1+2+3+..+3n,则f(2005)-f(2004)=? 设f(n)=1+1/2+1/3+…+1/2n 则f(n+1)-f(n)=? 设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(3n-1)(n属于N+),那么f(n+1)-f(n)=? 设f(n)=n+f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n-1),用数学归纳法证明“n+f(1)+f(2)+……+f(n-1)=nf(n)时,第一步要证的等式是设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是? 设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在g(n)使f(1)+f(2)+...+f(n-1)=g(n)f(n)-g(n) n>=2的一切自然数成立,求设f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n 求证f(1)+f(2)+.+(n-1)=n·[f(n)-1]用数学归纳法用数学归纳法证明设f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n 求证f(1)+f(2)+.+(n-1)=n·[f(n)-1] 设f(n)=1/n+1+1/n+2+…+1/2n(n属于N*),那么f(n+1)-f(n)= 设f[n]=2+2^4+2^7+2^10+...+2^3n+1,则f[n]= 设f[n]=2+2^4+2^7+2^10+...+2^3n+1,则f[n]= 设f(n)=2+2^4+2^7+...+2^3n+1,则f(n)=? 设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在于自然数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+...+f(n-1)=g(n).[f(n)-1] 设函数f(x)满足f(n+1)=[2f(n)+n]/2 (n∈N*) 且f(1)=2求f(20) 设f(n)=n+f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n-1),用数学归纳法证明“n+f(1)+f(2)+f(3)+…… 设f(n)=cos^n α+sin^n α(n属于Z),求证;2f(6)-3f(4)+1=0 f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=n/n+1.求f(n)