作业帮长方体三条棱成等比数列,体积为216,全面积最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:59:12
长方体三条棱成等比数列,体积为216,全面积最小值为?
长方体三条棱成等比数列,体积为216,全面积最小值为?
长方体三条棱成等比数列,体积为216,全面积最小值为?
abc=216
a/b=b/c b^2=ac
b^3=216 b=6
ac=36
全面积S=2(ab+bc+ac)=2[b(a+c)+ac]=2[6(a+c)+36]
=12(a+c)+72
a、c积一定,当它们相等时和最小,a=c=√36=6
全面积最小值S=12(a+c)+72=12(6+6)+72=216
216是6的三次方，故等比数列中的第二项为6，
可得数列6 6 6
3 6 12
2 6 18
1 6 36
分别计算表面积 216 252 312 516
可得当棱长为6时表面积最小为216
面积最小即x^3=216。面积为6*x^2
设：长方体的一条棱为a，公比为q.则三条棱为a aq aq2 体积为a3q3=216 aq=6
面积为2(a2q+a2q2+a2q3)=2(a2q+36+a2q3)>=72+4根号下的a4q4=72+4a2q2=72+4^36+216 这用到了基本不等式
a ab ab²
V=a×ab×ab²=a³b³=216
ab=6 a²b²=(ab)²=6²=36
S=2(a ×ab+a×ab²+ab×ab²)
=2(a²b+a²b²+a²b³) <...
全部展开
a ab ab²
V=a×ab×ab²=a³b³=216
ab=6 a²b²=(ab)²=6²=36
S=2(a ×ab+a×ab²+ab×ab²)
=2(a²b+a²b²+a²b³)
=2[(a²b+a²b³)+a²b² ]
=2[ab(a+ab²)+a²b²]
=2[6(a+ab²)+36]
=12(a+ab²)+72
(a+ab²)/2≥√a×ab²
≥√a²b²
≥√36
≥6
因为求全面积最小值，所以a+ab²取最小值12。
Smin=12×12+72=144+72=216
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