作业帮如果函数f(X)=a^x（a^x-3a^2-1) (a>0且a≠0）在区间[0,+∞）上是增函数,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/27 16:40:54
如果函数f(X)=a^x（a^x-3a^2-1) (a>0且a≠0）在区间[0,+∞）上是增函数,求实数a的取值范围.
如果函数f(X)=a^x（a^x-3a^2-1) (a>0且a≠0）在区间[0,+∞）上是增函数,求实数a的取值范围.
如果函数f(X)=a^x（a^x-3a^2-1) (a>0且a≠0）在区间[0,+∞）上是增函数,求实数a的取值范围.
设a^x=t,则有
y=t(t-3a²-1)=[t²-(3a²+1)t+(3a²+1)²/4]-(3a²+1)²/4
=[t-(3a²+1)/2]²-(3a²+1)²/4
当t≥(3a²+1)/2,f(x)单调递增.
即a^x≥(3a²+1)/2
即xlna≥ln(3a²+1)-ln2
即x≥[ln(3a²+1)-ln2]/lna
∵x∈[0,+∞)
∴[ln(3a²+1)-ln2]/lna≤0
当a>1时,lna>0
即有3a²+1≤2,解得-√3/3≤a≤√3/3(略去)
当0
a属于(0,1),相信我,没错的!
f(x)=a^x(a^x-3a²-1)=(a^x)²-(3a²+1)a^x.(x≥0).求导得：f′(x)=[2(a^x)²㏑a]-(3a²+1)×a^x×㏑a＝a^x×㏑a×[2a^x-(3a²+1)].由题设可知，当x≥0时，必有f′(x)≥0.(1)当0＜a＜1时，㏑a＜0,此时必恒有2a^x≤3a²+1.(x≥0).而当...
全部展开
f(x)=a^x(a^x-3a²-1)=(a^x)²-(3a²+1)a^x.(x≥0).求导得：f′(x)=[2(a^x)²㏑a]-(3a²+1)×a^x×㏑a＝a^x×㏑a×[2a^x-(3a²+1)].由题设可知，当x≥0时，必有f′(x)≥0.(1)当0＜a＜1时，㏑a＜0,此时必恒有2a^x≤3a²+1.(x≥0).而当x≥0时，(2a^x)max=2.故3a²+1≥2.===>√3/3≤a＜1.(2)当a＞1时，㏑a＞0,此时必恒有2a^x≥3a²+1.而当x≥0时，(2a^x)min=2,故2≥3a²+1.===>1＜a≤√3/3.矛盾。综上可知，a∈[√3/3,1).
收起