作业帮在矩形OABC中,已知A、C坐标为(4,0)和(0,2),D为OA中点,设P是角AOC平分线上的一个动点1）当P运动到与点B距离最小时,求经过O、P、D三点的抛物线解析式,2)设点E是（1）中抛物线的顶点,当点P运动到何
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 18:43:09
在矩形OABC中,已知A、C坐标为(4,0)和(0,2),D为OA中点,设P是角AOC平分线上的一个动点1）当P运动到与点B距离最小时,求经过O、P、D三点的抛物线解析式,2)设点E是（1）中抛物线的顶点,当点P运动到何
在矩形OABC中,已知A、C坐标为(4,0)和(0,2),D为OA中点,设P是角AOC平分线上的一个动点
1）当P运动到与点B距离最小时,求经过O、P、D三点的抛物线解析式,2)设点E是（1）中抛物线的顶点,当点P运动到何处是,三角形PDE周长最小,求出此时P的坐标和周长
在矩形OABC中,已知A、C坐标为(4,0)和(0,2),D为OA中点,设P是角AOC平分线上的一个动点1）当P运动到与点B距离最小时,求经过O、P、D三点的抛物线解析式,2)设点E是（1）中抛物线的顶点,当点P运动到何
因为在矩形OABC中,A(4,0)和O(0,0),
所以B（4,2）
又因为D为OA中点
所以D(2,0),
因为P是角AOC（90度）平分线上的一个动点,
所以P在直线y=x上
设点P(x1,x1)
过点B作角AOC平分线的垂线,交于点F
所以点F就是所求的与点B距离最小的点（点到直线的连线,垂线段最短）
因为直线y=x的斜率为1,所以BF的斜率为-1.
设直线BF为y=-（x-4）+2
则BF与直线y=x的交点为（3,3）
此时设过O、P、D三点的抛物线解析式为y=a(x-0)(x-2)
将P(3,3)代入,得a=1
所以此时过O、P、D三点的抛物线解析式为y=x(x-2)
因为E是抛物线的顶点
所以E(1,-1)
因为D(2,0),E(1,-1) P(x1,x1)
要求三角形PDE周长值,因为PDE=PE+DE+PD而ED=√2是定值.
所以即求PE+PD的最小值.
因为点E关于直线y=x的对称点为G（-1,1）
所以PE=PG
所以PE+PD=PG+PD≥DG（三角形两边之和大于第三边）
即当点P在直线DG上时取到最小值.
因为直线DG的方程为y=-（x-2）/3
所以DG与直线y=x的交点为（1/2,1/2）,即P点（1/2,1/2）
而此时DG=√10.
所以当P点运动到（1/2,1/2）时,三角形PDE周长最小
最小值为√10+√2.
此时P（1,1）.