作业帮多条直线分割多个圆有公式吗?十一条直线分割七个圆,最多能分成多少个图形?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 03:54:37
多条直线分割多个圆有公式吗?十一条直线分割七个圆,最多能分成多少个图形?
多条直线分割多个圆有公式吗?十一条直线分割七个圆,最多能分成多少个图形?
多条直线分割多个圆有公式吗?十一条直线分割七个圆,最多能分成多少个图形?
最多把平面分成264个部分.
设m条直线,n个圆,最多分成S(m,n)个部分.
先求S(0,n)设n个圆最多可以把平面分成S(n)个部分.前n-1个圆最多将平面分成S(0,n-1)个部分,此时,对于第n个圆来说,它与先前的n-1个圆最多有2(n-1)个交点,即此第n个圆最多被这2(n-1)个交点分成2(n-1)条圆弧段.由于每增加一个圆弧段,便可将原来的某个区域分为两个区域.因此,第n个圆使平面增加了2(n-1)个区域.因此可得递推关系式：S(0,n)=S(0,n-1)+2(n-1),其中n大于等于2.
由此递推关系式得到：
S(0,n)=S(0,1)+2×1+2×2+...+2×(n-1)=2+n(n-1)=n^2-n+2；
即n个圆最多可以把平面分成(n^2-n+2)个部分.
然后看加m条直线的情况,这时候,每添设已经添了m-1条直线,考虑添第m条直线的情况.对于第m条线来说,它与先前的n个圆最多有2n个交点,与先前的m-1条直线,最多有m-1个交点,所以这条直线,最多被分为2n+m-1+1=2n+m个部分.由于每增加一个线段,便可将原来的某个区域分为两个区域.因此,第m条线使平面增加了2n+m个区域.因此可得递推关系式：S(m,n)=S(m-1,n)+2n+m.
得S(m,n)=S(0,n)+(2n+1)+...+(2n+m)=S(0,n)+2nm+m(m+1)/2=n^2-n+2+2nm+m(m+1)/2.
代入m=11,n=7,得S(m,n)=7^2-7+2+2×7×11+11×12/2=264.
先看直线分割1个圆的情况 0=>1 1=>2 2=>4 3=>7 4=>11 5=>16 6=>22 。。。 分割成的图形数 = 少1条直线时分割的图形数+直线条数 如果看成一个数列，a0=1,an=an-1 + n (n>0) 即an-an-1=n 所以： an - an-1=n an-1 - a9 = n-1 ....... a3-a2 = 3 a2 - a1=2 a1-a0=1 以上累加： an-a0=1+2+3+...+n an=(1+n)n/2 + 1 所以a11=67,即11条直线分1个圆最多成67个图形 下来看7个圆的位置：如是全部相离分割图形数肯定不是最多的 如果是包含的话，以同心圆为例： 每个圆环之间分形数为bn=2n，b11=22 共有10个圆环,总数cn=an+10*bn=(1+n)n/2 + 1 +20n c11=66+1+220=287个 如果是相交，情况比较复杂，不讨论了，个数也不一定多于包含时的。
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