作业帮如图,三角形为DEF正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC为正三角形如图
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:45:06
如图,三角形为DEF正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC为正三角形如图
如图,三角形为DEF正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC为正三角形
如图
如图,三角形为DEF正三角形,AD=BE=CF,求证三角形ABC为正三角形如图
最近证明这道题的有点多啊……
证明（反正法）：
假设△ABC不是等边三角形且∠A、∠B与∠C中∠A最大
则BC大于其它两边（大角对大边）
所以CF>BD和AE
所以∠FEC>∠BFD和∠ADE（大边对大角）
因为AD=BF=CE,DE=DF=EF
所以∠C∠B和∠C
所以∠AED>∠BDF和∠EFC
由于∠AED+60°=∠EFC+∠C
因为∠AFD>∠EFC,所以∠C>60°
在△ABC中,最小的角∠C>60度,三角形不成立（在三角形中,三个角的总和=180°）
所以∠C
证法一：这里用了两个明显的结论①当三角形两边不变时，第三边增大时，第三边对的角也增大。
②当三角形两边不变时，第三边对的角增大时，其余两角都变小
证明：由对称轮换性不妨设A》B》C那么BC》AC》AB
∵AD=BE=CF
∴BF》CD》AE，那么由①∴∠BEF》∠CFD》∠ADE
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证法一：这里用了两个明显的结论①当三角形两边不变时，第三边增大时，第三边对的角也增大。
②当三角形两边不变时，第三边对的角增大时，其余两角都变小
证明：由对称轮换性不妨设A》B》C那么BC》AC》AB
∵AD=BE=CF
∴BF》CD》AE，那么由①∴∠BEF》∠CFD》∠ADE
由②∴∠BFE《∠CDF《∠AED
又∠BFE=120°-∠CFD
∠CDF=120°-∠ADE
∠AED=120°-∠BEF
由① ∠CDF》∠BFE》∠AED 结合 ②只能
∠BFE=∠CDF=∠AED
三个三角形全等，从而△ABC是正三角形
用解析法
以B为原点，BC为X轴建立直角坐标系：设AD=BE=CF=m,则A(ccosB,csinB）B（0，0)
,C(a，0），E（mcosB，msinB),F(a-m，0），D点的坐标比较难算一点，可以通过将FE顺时针旋转60度得到，用复数法：FD=FE(cos(-60)+isin(-60))=（mcosB-a+m+imsinB）（1/2-i根3/2）=
（根3sinB+cosB+1)m/2-a/2+[（sinB-根3cosB-根3)m+根3a/2）]i,可得
D(根3sinB+cosB-1)m/2+a/2,（sinB-根3cosB-根3)m+根3a/2）),又因为向量AD=（m/b）AC可的到方程组，将含m的移到一边，两个方程式相除消去m，结合正弦定理，化简可得：
sinA=SINB=SINC
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