作业帮证明根号3是无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 11:17:34
证明根号3是无理数
证明根号3是无理数
证明根号3是无理数
反证法：假设√3是有理数.
1^2< (√3)^2
反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分...
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反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数
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证明：假设√3不是无理数，而是有理数。
既然√3是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√3=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √3=p/q 两边平方
得 3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由于3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数...
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证明：假设√3不是无理数，而是有理数。
既然√3是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√3=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √3=p/q 两边平方
得 3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由于3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3m
由 23(q^2)=9(m^2)
得 q^2=3m^2
同理q必然也为偶数，设q=3n
既然p和q都是3的倍数，他们必定有公因数3，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√3是有理数引起的。因此√3是无理数。
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楼上的那个人的证明貌似有问题将3换成4得到的结论是根号4也是无理数