幂零矩阵的幂零指数一定小于其阶数吗?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 18:39:51

幂零矩阵的幂零指数一定小于其阶数吗?
幂零矩阵的幂零指数一定小于其阶数吗?

幂零矩阵的幂零指数一定小于其阶数吗?
一定小于或等于.
这个问题可以从几个角度理解.
1. 幂零矩阵的Jordan标准型全由特征值0的Jordan块给出, 而这样的Jordan块的幂零指数等于其阶数. 整体的幂零指数等于最大的Jordan块的阶数≤矩阵阶数.
2. n阶的幂零矩阵A的特征多项式为f(x)=x^n, 而Hamilton-Cayley定理说特征多项式是化零多项式. 即有A^n=f(A)=0.
3. 考虑矩阵A对应的线性变换, 仍记为A. A^i, i=1,2,...是一列线性变换, 相应的像集im(A^i)是线性子空间, 并有im(A^i)包含im(A^(i+1)). 我们说明对幂零线性变换A, im(A^i)的维数是严格递减到0的.
若不然设im(A^i)与im(A^(i+1))为维数相等的非零线性子空间. 由im(A^i)包含im(A^(i+1)), 实际上有im(A^i)=im(A^(i+1)). 由此im(A^(i+1))=A(im(A^i))=A(im(A^(i+1)))=im(A^(i+2))并可递推至无穷.
im(A^i)永远非零, 与A幂零矛盾. 既然维数严格递减, 那么从n减到0最多要n次.
4. 和上面类似的看法, ker(A^i)严格递增, 从0到n最多要n次. 这个观点也能用线性方程组基础解系的语言描述.

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