在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,AD平分∠CAB.求证:AB=AC+CD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 08:05:20

在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,AD平分∠CAB.求证:AB=AC+CD
在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,AD平分∠CAB.求证:AB=AC+CD

在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,AD平分∠CAB.求证:AB=AC+CD
证明:作DE垂直AB于E
∵AD是交∠BAC的平分线(已知)
∴∠CAD=∠BAD(角平分线定义)
∵∠C=90°(已知)
∴AC⊥CB(垂直定义)
又∵DE⊥AB(已作)
∠CAD=∠BAD(已证)
∴CD=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵DE⊥AB(已作)
∴∠DEB=90°,∠AED=90°(垂直定义)
∵△ABC中,∠C=90°(已知)
∴∠CAB+∠B=90°
∵AC=BC(已知)
∴∠CAB=∠B(等边对等角)
∴∠B=45°
又∵△DEB中,∠DEB+∠EDB+∠B=180°(三角形内角和180°)
且∠DEB=90°(已证)
∴∠EDB=90°
又∵∠B=90°
∴DE=DB(等角对等边)
又∵CD=ED(已证)
∴CD=EB
在△ACD和△ABD中
∠C=∠AED(已证)
∠CAD=∠BAD(已证)
AD=AD(公共边)
∴△ACD≌△ABD(AAS)
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)
又∵CD=EB(已证)
∴AC+CD=AE+EB(等量加等