作业帮.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE＝CA,F是AE的中点.求证：BF⊥FD
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 02:40:25
.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE＝CA,F是AE的中点.求证：BF⊥FD
.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE＝CA,F是AE的中点.求证：BF⊥FD
.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE＝CA,F是AE的中点.求证：BF⊥FD
连接CF因为AC=CE,F是AE中点,所以CF⊥AE,BF为直角三角形AEB斜边中线,所以AF=FB,AD=BC,易证FD=FC所以三角形AFD全等于三角形BFC,所以角AFD=角BFC,所以角DFB=角DFC+角CFB=角DFC+角AFD=角AFC=90度,所以BF⊥FD
证明：过F做FG‖AD，连接CF。
在直角梯形ADCE中，
∵FG‖AD，F为AE的中点
∴G点为CD的中点，且FG⊥CD
∴FD=FC，∠FDC=∠FCD（垂直平分线的性质）
又∵∠ADC=∠BCD=90°（矩形的性质），即∠FDC+∠ADF=∠FCD+∠BCF=90°
∴∠ADF=∠BCF(等式的性质）
又∵AD=BC（矩形的性质）
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证明：过F做FG‖AD，连接CF。
在直角梯形ADCE中，
∵FG‖AD，F为AE的中点
∴G点为CD的中点，且FG⊥CD
∴FD=FC，∠FDC=∠FCD（垂直平分线的性质）
又∵∠ADC=∠BCD=90°（矩形的性质），即∠FDC+∠ADF=∠FCD+∠BCF=90°
∴∠ADF=∠BCF(等式的性质）
又∵AD=BC（矩形的性质）
∴△ADF≌△BCF(SAS)
∴∠AFD=∠BFC(全等三角形对应角相等）
在三角形ACE中，AC=CE，点F为AE的中点（已知）
∴CF⊥AE（等角三角形的性质）
即：∠AFD+∠CFD=∠BFC+∠BFE=90°
∵∠AFD=∠BFC（已证）
∴∠CFD+∠BFC=∠BFD=90°（等量代换）
即：BF⊥FD
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证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF
又∵F是AE的中点
∴AF=EF
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，FB=FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE...
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证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF
又∵F是AE的中点
∴AF=EF
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，FB=FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE=AC，
∴AC=BD=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．
收起