作业帮一道大学高数求极限的题目,紧急求助!f(x)=1+1/2+...+1/2^ng(x)=1+1/3+...+1/3^nlim(n→∝）=f(x)/g(x)求详细过程!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 08:41:44
一道大学高数求极限的题目,紧急求助!f(x)=1+1/2+...+1/2^ng(x)=1+1/3+...+1/3^nlim(n→∝）=f(x)/g(x)求详细过程!
一道大学高数求极限的题目,紧急求助!
f(x)=1+1/2+...+1/2^n
g(x)=1+1/3+...+1/3^n
lim(n→∝）=f(x)/g(x)
求详细过程!
一道大学高数求极限的题目,紧急求助!f(x)=1+1/2+...+1/2^ng(x)=1+1/3+...+1/3^nlim(n→∝）=f(x)/g(x)求详细过程!
可以利用等价无穷小来做,当x趋于0时,e^x和x+1是等价无穷小,e^x~x+1;x和sinx是等价无穷小,sinx
a^x=e^(xlna)~xlna+1
a^sinx=e^(sinxlna)~sinxlna+1
代入后原式等于 limx→0[(xlna+1)-(sinxlna+1)]/(sinx)^3
=limx→0[lna(x-sinx)]/(sinx)^3
再利用罗比达法则,对分子分母分别求导两次得到下面的结果
limx→0sinxlna/[6sinx(cosx)^2-3(sinx)^3]
约去一个sinx后再把x=0代入即可,最后结果为lna/6
好难啊！
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lim(n→∝）f(x)/g(x)=lim(n→∝）【（1+1/2+...+1/2^n）（1+1/3+...+1/3^n）】=lim(n→∝）(1-0.5^n)(1-1/3^n)=1
f(x)=2-1/2的n-1次方 g(x)=3/2-1/2乘以3^(n-1) n→无穷大时 f(x)/g(x)=4/3 因为此时f(x)→2,g(x)→3/2
答案是4/3
运用等比数列求和，然后求极限
对等比数列{an}，当|q|<1时: lim S(n) = a1/(1-q)
所以：
lim f(x) = 1/(1-1/2) = 2
lim g(x) = 1/(1-1/3) = 3/2
lim f(x)/g(x) = lim f(x) / lim g(x) = 2 / (3/2) = 4/3