设A为正交阵,且|A|=-1,证明K=-1是A的特征值我这样证明行不行呢如果不行 为什么Ax=kx 所以|A||x|=k^n*|x|因为|x|不等于,所以|A|=k^n 因为A=-1 了 所以k只能是-1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 07:04:01

设A为正交阵,且|A|=-1,证明K=-1是A的特征值我这样证明行不行呢如果不行 为什么Ax=kx 所以|A||x|=k^n*|x|因为|x|不等于,所以|A|=k^n 因为A=-1 了 所以k只能是-1
设A为正交阵,且|A|=-1,证明K=-1是A的特征值
我这样证明行不行呢
如果不行 为什么
Ax=kx 所以|A||x|=k^n*|x|
因为|x|不等于,所以|A|=k^n 因为A=-1 了 所以k只能是-1

设A为正交阵,且|A|=-1,证明K=-1是A的特征值我这样证明行不行呢如果不行 为什么Ax=kx 所以|A||x|=k^n*|x|因为|x|不等于,所以|A|=k^n 因为A=-1 了 所以k只能是-1
符号||既能代表向量（n×1阶）的模,又能代表方阵（n×n阶）的行列式,两个概念不能混淆.
|x|代表向量的模,一般不能直接与|A|这个行列式值相乘得到Ax的模.常数k的话,倒是可以相乘的,即kx的模等于k的模乘向量x的模.
正交矩阵的性质是Ax的模和x的模相等,即|Ax|=|x|（这是因为|Ax|^2=(A*x)'*(A*x)=x'*A'*A*x=x'*(A'*A)*x=x'*I*x=x'*x=|x|^2）.由Ax=lamda*x,两边取模|x|=|lamda|*|x|,因为|x|非零,因此可以推出|lamda|=1,即正交矩阵的特征值的模是1（包括复数的模）.
这道题的一个正确做法是：A的特征多项式的根即A的特征值,前面已经证明了他们的模都是1,而且复数特征值都是成对共轭地出现（代数基本定理,实系数多项式的复数根都是共轭成对出现）,因为行列式等于特征值的乘积,所以
lamda(1)*lamda(2)*...*lamda(n)=|A|=-1,
如果lamda里没有-1,那个A的实特征值只能有+1,而且共轭模1的特征值的成对乘积都是+1,所以|A|就应该是+1,而不是-1,这就矛盾了.
网页参考：代数基本定理（仅作参考,证明太复杂,不需要细看）.

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