作业帮能被210整除且恰有210个约数的数有（ ）个.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 22:39:20
能被210整除且恰有210个约数的数有（ ）个.
能被210整除且恰有210个约数的数有（ ）个.
能被210整除且恰有210个约数的数有（ ）个.
答案是：能被210整除且恰有210个约数的数有（24）个
设想求的数是M,它满足两个条件：
①、能被210整除,即M是210的倍数
②、恰有210个约数
我们知道,某个整数A,假设有若干个质因数,每个质因数分别重复若干次,比如分解为k个a、l个b、m个c、n个d、p个e、q个f的乘积,其中a、b、c、d、e、f都是质数,即：A=(a^k)×(b^l)×(c^m)×(d^n)×(e^p)×(f^q)
那么A的约数共有：(k+1)×(l+1)×(m+1)×(n+1)×(p+1)×(q+1)个
(由于网页中不好用上标、下标的形式表示,所以这里只例举了6个质因数的情形)
210=2×3×5×7,由条件①可知M必须含有2、3、5、7四个质因数.
若M还有其他质因数,比如11,则其约数的个数必须是：(k+1)×(l+1)×(m+1)×(n+1)×(p+1)的形式,这超出了2×3×5×7的形式,即“M的质因数个数大于4”与条件②矛盾.
所以M有且仅有4个质因数：2、3、5、7.
又：210=2×3×5×7=(1+1)×(2+1)×(4+1)×(6+1)
所以M的4个质因数：2、3、5、7可以分别重复1、2、4、6次.
由于2、3、5、7可重复的次数可以互换,那么M的个数是A(4,4)=4!=24个
例如最大与最小的M分别是：
当2重复1次、3重复2次、5重复4次、7重复6次,可得M=(2^1)×(3^2)×(5^4)×(7^6)=1323551250
当2重复6次、3重复4次、5重复2次、7重复1次,可得M=(2^6)×(3^4)×(5^2)×(7^1)=907200
只要是210的约数就都能被210整除啊
从1开始
1，210，2，105，3，70，5，42，6，35，7，30，10，21，14，15
共16个
2
0
210=2×3×5×7=(1+1)×(2+1)×(4+1)×(6+1)
所以M的4个质因数：2、3、5、7可以分别重复1、2、4、6次。
由于2、3、5、7可重复的次数可以互换，那么M的个数是A(4, 4)=4!=24个