已知等边三角形ABC内接于圆O,D为直线AB上的一点,若AB=根号3,三角形BCD的面积等于4分之根号3,求OD的长3分之根号3或3分之根号21

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 06:32:04

已知等边三角形ABC内接于圆O,D为直线AB上的一点,若AB=根号3,三角形BCD的面积等于4分之根号3,求OD的长3分之根号3或3分之根号21
已知等边三角形ABC内接于圆O,D为直线AB上的一点,若AB=根号3,三角形BCD的面积等于4分之根号3,求OD的长
3分之根号3或3分之根号21

已知等边三角形ABC内接于圆O,D为直线AB上的一点,若AB=根号3,三角形BCD的面积等于4分之根号3,求OD的长3分之根号3或3分之根号21
已知：AB＝BC＝AC＝√3 （注："√3"表示"根号3"）
S△BCD＝√3/4
作辅助线：以AB为底,作△ABC的高,交AB于E.
CE＝AC×sin60°＝3/2
S△ABC＝AB×CE/2＝(√3×3/2)/2＝3×√3/4
S△BCD:S△ABC＝DB:AB(同高三角形面积之比＝底边之比）
DB=√3/3
OE＝AB/2×tg30°＝√3/2×√3/3＝1/2
当D为线段AB上的一点时：
OD^2=OE^2＋(AB/2－DB)^2＝1/4＋1/12＝1/3
OD＝√3/3
当D为AB延长线上的一点时：
OD^2=OE^2＋(AB/2＋DB)^2＝1/4＋75/36＝21/9
OD＝√21/3
答：OD长√3/3或√21/3.

在等边三角形中，易求过O点AB边上的中线CH=二分之三，且 OH=三分之一CH=二分之一。由三角形BCD面积可知，BD=三分之根号三，所以DH=六分之根号三，所以OD=根号下OH平方加上DH平方之和=根号下三分之一=三分之根号三。