（2008江西文数）函数f(x)=sinx/(sinx+2sin(x/2))为什么周期是4pi,偶函数?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 10:25:29

（2008江西文数）函数f(x)=sinx/(sinx+2sin(x/2))为什么周期是4pi,偶函数?
（2008江西文数）函数f(x)=sinx/(sinx+2sin(x/2))为什么周期是4pi,偶函数?

（2008江西文数）函数f(x)=sinx/(sinx+2sin(x/2))为什么周期是4pi,偶函数?
f(x)=sinx/[sinx+2sin(x/2)]
f(-x)=sin(-x)/[sin(-x)+2sin(-x/2)]
=-sinx/[-(sinx+2sin(x/2))]
=sinx/[sinx+2sin(x/2)]
所以是偶函数
f(x)=sinx/(sinx+2sin(x/2))
=(2sin(x/2)cos(x/2))/[2sin(x/2)cos(x/2)+2sin(x/2)]
=cos(x/2)/(1+cos(x/2))
=1-1/(1+cos(x/2))
而cos(x/2)周期2π/(1/2)=4π
所以f(x)周期4π

f(x)=sinx/(sinx+2sin(x/2))=SIN(X+2PI)/(SIN(X+2PI)+2SIN(X/2+2PI)=
SIN(X+4PI)/(SIN(X+4PI)+2SIN((X+4PI)/2)
所以T=4PI
因为SIN(-X)=-SINX
F(-X)=-sinx/(-sinx-2sin(x/2))=sinx/(sinx+2sin(x/2))=F(X)
所以是偶函数

4π
由f(x)=sinx/(sinx+2sinx/2)，又sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)得
f(x)
=[2sin(x/2)*cos(x/2)]/[2sin(x/2)*cos(x/2)+2sin(x/2)]
=cos(x/2)/[cos(x/2)+1]
所以 1/f(x)=1+1/cos(x/2)
即 [1/f(x)]-...

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4π
由f(x)=sinx/(sinx+2sinx/2)，又sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)得
f(x)
=[2sin(x/2)*cos(x/2)]/[2sin(x/2)*cos(x/2)+2sin(x/2)]
=cos(x/2)/[cos(x/2)+1]
所以 1/f(x)=1+1/cos(x/2)
即 [1/f(x)]-1=1/cos(x/2)
因为函数y=1/cos(x/2)的周期为4π。所以
[1/f(x+4π)]-1=[1/f(x)]-1 故原函数的周期为4π。

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