作业帮1.设a＞1,函数f(x)=logax在[a,2a]上的最大值和最小值的差为1/2,求a.注：logax是指以a为底x的对数.2.设a＞0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数.求a的值； 证明f(x)在（0,+∞）上是增函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 14:50:11
1.设a＞1,函数f(x)=logax在[a,2a]上的最大值和最小值的差为1/2,求a.注：logax是指以a为底x的对数.2.设a＞0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数.求a的值； 证明f(x)在（0,+∞）上是增函数.
1.设a＞1,函数f(x)=logax在[a,2a]上的最大值和最小值的差为1/2,求a.
注：logax是指以a为底x的对数.
2.设a＞0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数.
求a的值； 证明f(x)在（0,+∞）上是增函数.
1.设a＞1,函数f(x)=logax在[a,2a]上的最大值和最小值的差为1/2,求a.注：logax是指以a为底x的对数.2.设a＞0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数.求a的值； 证明f(x)在（0,+∞）上是增函数.
1、因为a＞1,函数f(x)=logax在[a,2a]是单调递增函数,
即最大值=f（2a）=loga（2a）,最小值=f（a）=loga（a）；
则有 f（2a）-f（a）=loga（2a）-loga（a）=1/2；
根据对数函数基本性质：loga2+loga（a）-loga（a）=loga2=1/2,
a=4.
2、因f（x）是偶函数,f（-x）-f（x）=e^(-x)/a+a/e^(-x) -(e^x)/a-a/e^x=0；
化简得到 （e^x-1/e^x）(1/a-a)=0,
因为（e^x-1/e^x）不等于0,则(1/a-a)=0,推出a=1.
在（0,+∞）上取x1＞x2,
则f（x1）-f(x2)=e^x1+1/(e^x1)-e^x2-1/(e^x2)=(e^x1-e^x2)(1-1/e^(x1+x2))
因为 e^(x1+x2）＞1,所以f（x1）-f(x2)＞0,所以是增函
（1）对于对数函数f(x)=logax，当a>1时，f（x）在区间 [a,2a]上递增，
所以f（x）max＝f（2a），f（x）min＝f（a），
即f（2a）－f（a）＝1/2
loga(2a)-loga(a)=1/2
loga(2a/a)=loga2=1/2
得a＝4
（2）1.因为是偶函数。所...
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（1）对于对数函数f(x)=logax，当a>1时，f（x）在区间 [a,2a]上递增，
所以f（x）max＝f（2a），f（x）min＝f（a），
即f（2a）－f（a）＝1/2
loga(2a)-loga(a)=1/2
loga(2a/a)=loga2=1/2
得a＝4
（2）1.因为是偶函数。所以f(x)=f(-x),那么e^x/a+a/e^x=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(ae^x)+ae^x,两边比较，得到1/a=a.所以a=1或a=-1
2.取X1，X2且0
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1. a＞1 ，所以logax是增函数，所以 有 loga（2a）-loga（a）=1
也就是 loga2=1，所以a=2
2.f（-x）=e^(-x)/a+a/e^(-x) =(e^x)/a+a/e^x=f(x),
化简得到 1/（ae^x）+ae^x=a^2/(ae^x)+(ae^x)/a^2
又待定系数法 ，得到a^2=1 ,又a＞0,所以a=1，f(x)=...
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1. a＞1 ，所以logax是增函数，所以 有 loga（2a）-loga（a）=1
也就是 loga2=1，所以a=2
2.f（-x）=e^(-x)/a+a/e^(-x) =(e^x)/a+a/e^x=f(x),
化简得到 1/（ae^x）+ae^x=a^2/(ae^x)+(ae^x)/a^2
又待定系数法 ，得到a^2=1 ,又a＞0,所以a=1，f(x)=e^x+1/(e^x).
在（0，+∞）上取x1＞x2,
则f（x1）-f(x2)=e^x1+1/(e^x1)-e^x2-1/(e^x2)=(e^x1-e^x2)(1-1/e^(x1+x2))
因为 e^(x1+x2）＞1，所以f（x1）-f(x2)＞0，所以是增函数
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