已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 08:47:00

已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.
若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.

已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
根据C所外位置情况可分为两种情况,C在弧O₁A和  弧O₁B
证明：（1）C在弧O₁A上时
廷长O₁C交AD于F点;连接AO₁并廷长交O₁于E点;连接EB,AB
∵AE为直径,所以∠EBA=90°
∴∠O₁EB+∠BAO₁=90°
在O₁中, 劣弧AB所对的圆周角相等
∴∠ADB=∠O₁EB
在O₂中,劣弧O₁B所对的圆周角相等
∴∠BAO₁=∠BCO₁
又∵∠BCO₁=∠DCF
∴∠DCF=∠BAO₁
∴∠ADB+∠DCF=∠O₁EB+∠BAO₁=90°
∴∠CFD=90°
∴CO₁⊥AD              
（2）C在弧O₁B上时,如图

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证明：作⊙O1直径AE、连结AB、BE，⊙O1中，∠C=∠O1AB，四边形ADBE内接于圆，∠ADC=∠E，∵AE是直径，∴∠ABE=Rt，即∠O1AB+∠E=Rt，∴∠C+∠ADC=Rt，即CO1⊥AD，证毕。
另：在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点，这些点连结B后AD不变，但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的，所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话，则...

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证明：作⊙O1直径AE、连结AB、BE，⊙O1中，∠C=∠O1AB，四边形ADBE内接于圆，∠ADC=∠E，∵AE是直径，∴∠ABE=Rt，即∠O1AB+∠E=Rt，∴∠C+∠ADC=Rt，即CO1⊥AD，证毕。
另：在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点，这些点连结B后AD不变，但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的，所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话，则不能证明。

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如图,已知○O1和○O2相交于A,B两点,圆心O1在圆O2上,连心线O1O2与○O1交于点C、D,与○O 已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,且圆O2在圆O1上 AD是圆O直径,连接DB并延长交○O1于点C,求证CO2⊥O2D 已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为圆O2上一点（不与A、B,O2重合）,直线CB与圆O1交与另一点D. 如图,已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O2的切线,交圆O1于点C,过点B作两圆的割线分别交圆O1,O2于,E 如图所示,已知圆O1和圆O2相交于A,B两点,圆O1在圆O2,AC是圆O1的直径,CB与圆O2相交于点D,连接AD.求证DA=DC 已知两个等圆⊙O1和⊙O 2相交于A,B两点,⊙O1经过点O2,试判定四边形O1AO2B的形状 已知,如下图,圆O1和圆O2相交于A、B两点,过点A的直线CD与圆O1交于C,与圆O2相交于D,过点B的直线EF与圆O1交已知,如下图,圆O1和圆O2相交于A、B两点,过点A的直线CD与圆O1交于C，与圆O2相交于D，过点B 如图所示,已知圆O1与圆O2相交于AB两点,过点A的直线分别交圆O1,圆O2于EF两点,过点B如图所示,已知圆O1与圆O2相交于AB两点,过点A的直线分别交圆O1,圆O2于EF两点,过点B的直线分别交圆O1,圆O2于CD两点 如图所示,已知圆O1与圆O2相交于AB两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点C如图所示,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2于点D,E,DE与AC相交于点P 已知,如下列四张图,圆O1和圆O2相交于A、B两点,过点A的直线CD与圆O1交于C,与圆O2相交于D,过点B的直线EF?2已知,如下图,圆O1和圆O2相交于A、B两点,过点A的直线CD与圆O1交于C,与圆O2相交于D,过点B的直 已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为圆O2上一点（不与A、B,O2重合）,直线CB与圆O1交与另一点D.已关闭 安安静静 2012-02-25 12:19 已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为圆O2上一点 圆O1、圆O2相交于A、B两点,CD与圆O1相切于A点,与圆O2交于D点圆O1弦BE于圆O2交于F点 求证：AE平行于DF 如图 已知圆o1与 圆o2相交于a b两点延长圆O1直径CA交圆O2于点D,延长圆O1的弦CB交O1的弦CB已知圆O1和圆O2相交于AB,延长圆O1直径CA交圆O2于点D,延长圆O1的弦CB交O2于点E,AC=6,AD：BC ：BE=1：2：4则BE=? 已知,圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为圆O2上一点（不与A、B重合）直线CB与圆O相交于另一点D（1）若AC是圆O2直径,求证：AC=CD（2）若C为圆O1外一点,求证：O1C⊥AD（3）若C为圆O1内一点, 已知:两个等圆圆O1和圆O2相交于A、B两点,圆O1经过点O2,点C是弧啊、AO2B上的任意一 已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD. 已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD. 已知圆O1和圆O2相交于A、B两点,它们的半径都为2,圆O1经过点O2,则四边形O1AO2B的面积是?