作业帮若两个等差数列5.8.11...,与3.7.11...都有100项,它们共有多少个相同的项?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 16:09:38
若两个等差数列5.8.11...,与3.7.11...都有100项,它们共有多少个相同的项?
若两个等差数列5.8.11...,与3.7.11...都有100项,它们共有多少个相同的项?
若两个等差数列5.8.11...,与3.7.11...都有100项,它们共有多少个相同的项?
令{Ai}=5,8,11……,{Bj}=3,7,11……(i,j≤100且i,j∈Z)
易知Ai=3i+2,Bj=4j-1
当Ai=Bj时,有
3i+2=4j-1
即4j-3i=3
j=3,i=3
j=6,i=7
j=9,i=11
……
由上j=3n,i=4n-1
分别令j=100,i=100,将n值带入,做带余除法,有
3n=100
n=33……1
4n-1=100
n=25……1
∴它们共有25个相同的项
一个公差是3，一个公差是4，每12个项会出现相同的项
去掉前3项（第三项相同），从第四项开始算
97/12=8……1
后97项有8个，前3项有1个
一共9个相同的项
共同的项是12n-1
12n-1≤100
所以一共有8个
同学你好：
很高兴为您解答！
解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，<...
全部展开
同学你好：
很高兴为您解答！
解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
其和S25=11×25+（25X24）/2×12=3875
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n-1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=4/3m-1．
又m、n∈N*，∴设m=3r（r∈N*），
得n=4r-1．
根据题意得
﹛1≤3r≤100
﹛1≤4r-1≤100
解得1≤r≤25（r∈N*）．
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S25=11×25+（25X24）/2×12=3875．
很高兴为您解答，祝你学习进步！【数学的奥义】团队为您答题。有不明白的可以追问！如果您认可我的回答。请点击下面的【选为满意回答】按钮，谢谢！如果有其他需要帮助的题目，您可以求助我。谢谢！！
收起
设5.8.11...,的通项公式是Am=5+3(m-1),3.7.11...的通项公式是Bn=3+4(n-1),
当Am=Bn时，5+3(m-1)=3+4(n-1),
∴m＝4n／3-1.
n是3的整数倍，n≤100，m≤100,∴n≤303／4
∴n的值有25个。
若两个等差数列5.8.11...,与3.7.11...都有100项,...
全部展开
设5.8.11...,的通项公式是Am=5+3(m-1),3.7.11...的通项公式是Bn=3+4(n-1),
当Am=Bn时，5+3(m-1)=3+4(n-1),
∴m＝4n／3-1.
n是3的整数倍，n≤100，m≤100,∴n≤303／4
∴n的值有25个。
若两个等差数列5.8.11...,与3.7.11...都有100项,它们共有25个相同的项.
收起