已知a,β是方程x^2-2ax+6x+a=0的两实根,求(a-1)^2+(β-1)^2最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 13:07:54

已知a,β是方程x^2-2ax+6x+a=0的两实根,求(a-1)^2+(β-1)^2最小值
已知a,β是方程x^2-2ax+6x+a=0的两实根,求(a-1)^2+(β-1)^2最小值

已知a,β是方程x^2-2ax+6x+a=0的两实根,求(a-1)^2+(β-1)^2最小值
α,β是方程x²-2ax+6x+a=0的两实根
即α,β是方程x²-(2a-6)x+a=0的两实根
则α+β=2a-6
αβ=a
(α-1)²+(β-1)²
=α²-2α+1+β²-2β+1
=α²+β²-2α-2β+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=(2a-6)²-2a-2(2a-6)+2
=4a²-24a+36-2a-4a+12+2
=4a²-30a+50
=4(a²-15a/2+225/16-25/16)
=4(a²-15/4)²-25/4≥-25/4
等号在a²=15/4时取得
所以(α-1)²+(β-1)²的最小值是-25/4