作业帮a(-1,0),b(1,0),p在圆周(x-3)*(x-3)+(y-4)*(y-4)=4上,求使ap*ap+bp*bp最小值时的p点坐标.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 20:08:21
a(-1,0),b(1,0),p在圆周(x-3)*(x-3)+(y-4)*(y-4)=4上,求使ap*ap+bp*bp最小值时的p点坐标.
a(-1,0),b(1,0),p在圆周(x-3)*(x-3)+(y-4)*(y-4)=4上,求使ap*ap+bp*bp最小值时的p点坐标.
a(-1,0),b(1,0),p在圆周(x-3)*(x-3)+(y-4)*(y-4)=4上,求使ap*ap+bp*bp最小值时的p点坐标.
∵(x-3)^2+(y-4)^2=4
利用三角换元,令:
{x=3+2cost
{y=4+2sint
则有:
AP^2=(x+1)^2+(y-0)^2
BP^2=(x-1)^2+(y-0)^2
∴AP^2+BP^2
=2x^2+2+2y^2
=2(x^2+y^2)+2
=2OP^2+2
OP最小时AP^2+BP^2取最小值
O与圆心相连与圆的交点中离O近的那个即为所求
∴tant=4/3
cost=-3/5
sint=-4/5
解得:
x=3-6/5=9/5
y=4-8/5=12/5
∴P(9/5,12/5)
当然,不用三角换元也可以,再提供一个思路:
在△APB中,有AP^2+BP^2=1/2*(4OP^2+BP^2)
即当OP最小时,AP^2+BP^2取最小值
而OP(min)=5-2=3
∴Px=3*3/5=9/5
Py=3*4/5=12/5
∴P(9/5,12/5)
设P点坐标为(x,y),则有
AP²+BP²=[(x+1)²+y²]+[(x-1)²+y²]=
[(x-3+4)²+(y-4+4)²]+[(x-3+2)²+(y-4+4)²]
=[(x-3)²+(y-4)²+8(x-3)+8(y-4)+32]+[ (x-3...
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设P点坐标为(x,y),则有
AP²+BP²=[(x+1)²+y²]+[(x-1)²+y²]=
[(x-3+4)²+(y-4+4)²]+[(x-3+2)²+(y-4+4)²]
=[(x-3)²+(y-4)²+8(x-3)+8(y-4)+32]+[ (x-3)²+(y-4)²+4(x-3)+8(y-4)+20]
=2[(x-3)²+(y-4)²]+12(x-3)+16(y-4)+52
因为(x-3)²+(y-4)²=4
所以AP²+BP²=12(x-3)+16(y-4)+60
因为[12(x-3)+16(y-4)] ²≤(12²+16²)[(x-3)²+(y-4)²]=1600(柯西不等式)
所以-40≤12(x-3)+16(y-4)≤40, -40+60≤AP²+BP²≤40+60
当且仅当(x-3)/(y-4)=12/16=3/4时取等，
设(x-3)=3k,(y-4)=4k,则
当AP²+BP²=20时，取得最小值
12*(3k)+16*(4k)+60=20,k=-2/5
所以x=9/5,y=12/5
综上所述,使AP²+BP²最小值时的P点坐标为(9/5,12/5)
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