作业帮一题高二数学直线方程题题：已知直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正版轴分别较于A、B两点.问：求┃PA┃·┃PB┃的值最小时直线l的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 21:49:08
一题高二数学直线方程题题：已知直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正版轴分别较于A、B两点.问：求┃PA┃·┃PB┃的值最小时直线l的方程.
一题高二数学直线方程题
题：已知直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正版轴分别较于A、B两点.
问：求┃PA┃·┃PB┃的值最小时直线l的方程.
一题高二数学直线方程题题：已知直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正版轴分别较于A、B两点.问：求┃PA┃·┃PB┃的值最小时直线l的方程.
设直线方程为x/a+y/b=1,其中a,b是直线l在x,y轴上的截距,依题意a,b>0.
那么A,B坐标分别为(a,0),(0,b).
又因为l过P(3,2),所以3/a+2/b=1, 或则ab-3b-2a=0.
设角BAO=θ,θ是锐角.
那么|PA||PB|=|a-3||b-2|/(sinθcosθ)=2|ab-3b-2a+6|/sin2θ=12/sin2θ.
显然θ=45°也就是a=b=5时,上式最小
此时直线方程为x+y-5=0.
设直线l的参数方程为
x=3+tcosα
y=2+tsinα
其中α为直线倾斜角，t为直线上的点到(3,2)的距离
因为A为l与x轴交点，所以
令x=0，解得PA=t1=-3/cosα
因为B为l与y轴交点，所以
令y=0，解得PB=t2=-2/sinα
所以|PA|·|PB|=6/cosαsinα=12/2cosαsinα=|12/...
全部展开
设直线l的参数方程为
x=3+tcosα
y=2+tsinα
其中α为直线倾斜角，t为直线上的点到(3,2)的距离
因为A为l与x轴交点，所以
令x=0，解得PA=t1=-3/cosα
因为B为l与y轴交点，所以
令y=0，解得PB=t2=-2/sinα
所以|PA|·|PB|=6/cosαsinα=12/2cosαsinα=|12/sin2α|
因为sin2α∈[-1,1]
所以sin2α=1或-1时|PA|·|PB|有最小值
此时2α=π/2或3π/2，即α=π/4或3π/4
因为l与x,y的正半轴相交，所以直线倾斜角为3π/4，即k=-1
所以l：x+y=5
收起
设直线的斜率为k，因为直线与x轴y轴正半轴分别相交，所以k<0
因为经过点P(3,2)，
则直线I的方程为I:y-2=k(x-3)
整理得：I：kx-y+2-3k=0
当x=0时，y=2-3k>0
当y=0时，x=(3k-2)/k>0
|PB|=|√3^2+(2-3k-2)^2|=|√9+9k^2|=3|√1+k^2|
|PA|=|...
全部展开
设直线的斜率为k，因为直线与x轴y轴正半轴分别相交，所以k<0
因为经过点P(3,2)，
则直线I的方程为I:y-2=k(x-3)
整理得：I：kx-y+2-3k=0
当x=0时，y=2-3k>0
当y=0时，x=(3k-2)/k>0
|PB|=|√3^2+(2-3k-2)^2|=|√9+9k^2|=3|√1+k^2|
|PA|=|√[(3k-2)/k-3]^2+2^2|=|√4/k^2+4|=2|√(1+k^2)/k^2|
|PA|×|PB|=3|√1+k^2|×2|√(1+k^2)/k^2|
=6|√2+K^2+1/K^2|
≥6|√2+2|
=12
当且仅当k^2=1/k^2时，取最小值
即：k=-1
所以直线I的方程为：
I：-x-y+2+3=0
整理得
x+y-5=0
收起