作业帮如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,AF平分∠EAD交CD于点F,求证:AE=BE+DF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 09:42:04
如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,AF平分∠EAD交CD于点F,求证:AE=BE+DF
如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,AF平分∠EAD交CD于点F,求证:AE=BE+DF
如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,AF平分∠EAD交CD于点F,求证:AE=BE+DF
延长CB到G,使BG=DF,联接AG
∵ABCD是正方形
∴AB=AD ∠ABC=∠D=90°
∴∠ABG=∠D=90°
∴△ABG ≌△ADF
∴∠G=∠AFD ∠BAG=∠DAF
∵∠DAF=∠EAF
∴∠BAG=∠EAF
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAF
∴∠G=∠EAG
∴AE=GE
∵GE=BE+BG=BE+DF
∴AE=BE+DF
设∠DAF=θ，则∠AEB=2θ
则BE+DF=ABcot2θ+ADtanθ=AB[（1-tan^2 θ）/2tanθ+tanθ]
=AB/sin2θ=AE
万能公式太无耻了...
因为：
所以：
因为：
所以：
因为：
所以：
证明：如图，做FG⊥AE交AE于G。 设DF=x，BE=y， 则有，AB=AD=a，EC=a-y，FC=a-x； 在直角三角形AGF和ADF中， 因为，AF平分∠EAD交CD于点F， 所以，<GAF=<DAF，又AF=AF， 所以，△AGF与△ADF为全等三角形， 所以，AG=a，GF=x，GE=AE-AG 在△ABE中，有AE=根号下（a2+y2）***此处指a的平方，下同**** 在直角三角形FGE中，GE2+GF2=EF2，即（AE-a)2+x2 又在三角形ECF中，EF2=EC2+FC2，即EF2=(a-y)2+(a-x)2； 综上，可得 (根号下（a2+y2）-a)2+x2=(a-y)2+(a-x)2 可得，x+y=根号下（a2+y2）=AE， 即AE=BE+DF。