作业帮数列{a(n)}中.a(1)=1,当n>=2时,其前n项和S(n)满足:[S(n)]^2=a(n)·[S(n)-0.5].(1)求{a(n)}.(2)令b(n)=[S(n)]/[2n+1]求数列的前n项和T(n).以上()括号内为下标.求详解.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 05:20:35
数列{a(n)}中.a(1)=1,当n>=2时,其前n项和S(n)满足:[S(n)]^2=a(n)·[S(n)-0.5].(1)求{a(n)}.(2)令b(n)=[S(n)]/[2n+1]求数列的前n项和T(n).以上()括号内为下标.求详解.
数列{a(n)}中.a(1)=1,当n>=2时,其前n项和S(n)满足:[S(n)]^2=a(n)·[S(n)-0.5].
(1)求{a(n)}.
(2)令b(n)=[S(n)]/[2n+1]求数列的前n项和T(n).
以上()括号内为下标.求详解.
数列{a(n)}中.a(1)=1,当n>=2时,其前n项和S(n)满足:[S(n)]^2=a(n)·[S(n)-0.5].(1)求{a(n)}.(2)令b(n)=[S(n)]/[2n+1]求数列的前n项和T(n).以上()括号内为下标.求详解.
1.
n≥2时,
Sn²=an×(Sn -0.5)=[Sn-S(n-1)]×(Sn-0.5)
整理,得
S(n-1)-Sn=2SnS(n-1)
等式两边同除以SnS(n-1)
1/Sn -1/S(n-1)=2,为定值.
1/S1=1/a1=1/1=1
数列{1/Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=1/(2n-1) -1/[2(n-1)-1]=1/(2n-1) -1/(2n-3)
n=1时,a1=1/(2-1)-1/(2-3)=1+1=2≠1
数列{an}的通项公式为
an=1 n=1
1/(2n-1)- 1/(2n-3) n≥2
2.
n=1时,S1=1/(2-1)=1,同样满足.
数列{Sn}的通项公式为Sn=1/(2n-1)
bn=Sn/(2n+1)=1/[(2n-1)(2n+1)]=(1/2)[1/(2n-1)- 1/(2n+1)]
Tn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1- 1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
转化成先求S(n)的数列
将a(n)用S(n)-S(n-1)代掉得到关于S(n)的递推式
S(n)^2=(S(n) -S(n-1))*(S(n) -0.5)
消去 S(n)^2
整理得0= - S(n) -2*S(n)*S(n-1)+S(n-1)
S(n)=S(n-1) /（1+2S(n-1)）
倒数下<...
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转化成先求S(n)的数列
将a(n)用S(n)-S(n-1)代掉得到关于S(n)的递推式
S(n)^2=(S(n) -S(n-1))*(S(n) -0.5)
消去 S(n)^2
整理得0= - S(n) -2*S(n)*S(n-1)+S(n-1)
S(n)=S(n-1) /（1+2S(n-1)）
倒数下
1/S(n)=2+1/S(n)
即得到关于 数列{1/S(n)} 的递推式
又知首项（a(1)=1）
可以求出S(n) 进以求出 a(n)
抓依据 看到S(n)^2不爽 想消掉 于是 想到将a(n)用S(n)-S(n-1)代掉
收起
S(n)=1／(2n－1)
以下自己完成吧