作业帮已知f(x)是二次函数,不等式f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:16:42
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)
1.
∵f(x)是二次函数,f(x)＜0的解集是（0,5）
∴可设f(x)=ax(x－5) （a＞0）
因为f(x)图象的对称轴为x=5/2 ,
∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a,
由已知得6a=12,∴a=2
∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x (x∈R)
2.
方程f(x)+ 37/x=0等价于方程2x^3-10x^2+37=0
设h(x)= 2x3-10x2+37.
则h'(x)=6x2-20x=2x(3x-10)
当x∈(0,10/3) 时,h'(x)＜0,h(x)是减函数,
当x∈(10/3 ,+∞) 时,h'(x)＞0,h(x)是增函数,
∵h(3)=1＞0,h( 10/3)=-1/27 ＜0,h(4)=5＞0
∴方程h(x)=0在区间(3,10/3 ),(10/3 ,4)内分别有唯一实数根,
而在区间（0,3）,（4,+∞)内没有实数根.
∴存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+37/x =0 在区间（m,m+1）内有且只有两个不同的实数根.
（1）设f(x) = ax^2 + bx + c (a>0)
可知：f(0)=0 f(5)=0 f(-1)=12;
即 c=0, 25a + 5b + c = 0, a – b + c = 0
解得a = 2, b = - 10
∴f(x) = 2x^2 - 10x
（2）
∵x ≠ 0
∴设g(x) ...
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（1）设f(x) = ax^2 + bx + c (a>0)
可知：f(0)=0 f(5)=0 f(-1)=12;
即 c=0, 25a + 5b + c = 0, a – b + c = 0
解得a = 2, b = - 10
∴f(x) = 2x^2 - 10x
（2）
∵x ≠ 0
∴设g(x) = 2x^3 – 10x^2 + 37
∴g’ (x) = 6x^2 - 20x 可知g(x)在(-∞, 0)单增， (0, 10/3)单减， (10/3, +∞)单增
∴g(x)在x=0, x=10/3处有极值
依题意
0∈(m, m+1) 或 10/3∈(m, m+1) 解得m = -1 或 m = 3
∵m∈N*,
∴m = 3 满足题意。
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