作业帮一道求函数值域的题目,求f(x)=a^2-1+ax-x^2(x∈[0,1])的值域.主要是这题分类讨论的时候对称轴跟x的定义域有什么关系啊?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 19:24:26
一道求函数值域的题目,求f(x)=a^2-1+ax-x^2(x∈[0,1])的值域.主要是这题分类讨论的时候对称轴跟x的定义域有什么关系啊?
一道求函数值域的题目,
求f(x)=a^2-1+ax-x^2(x∈[0,1])的值域.主要是这题分类讨论的时候对称轴跟x的定义域有什么关系啊?
一道求函数值域的题目,求f(x)=a^2-1+ax-x^2(x∈[0,1])的值域.主要是这题分类讨论的时候对称轴跟x的定义域有什么关系啊?
解:对称轴代表着函数图象顶点的X轴上的坐标
考察对称轴与X的定义域就是看函数顶点是否在X的定义域内
如果不在,则表示函数在其定义域上是严格单调的,函数的值域只需用X定义域的
两个端点代入即可;如果在,则函数的顶点是其值域的一端,其值域的另一端则由X轴定义域的两个端点中的一个决定的.
f(x)的对称轴为X=-a/(-2)=0.5a,f(0.5a)=a^2-1+a(0.5a)-(0.5a)^2=1.25a^2-1 所以,顶点坐标为(0.5a, 1.25a^2-1)函数图象为开口向下的抛物线f(0)=a^2-1
f(1)=a^2+a-2
1）若对称轴在定义域的左边,即0.5a<=0时a<=0,函数在定义域上单调递减
,则函数值域为,[f(1),f(0)]即[a^2+a-2,a^2-1],此时a^2+a-2
函数在定义域上单调递增,则函数值域为[f(0),f(1)],即[a^2-1,a^2+a-2]此时
a^2-1
3)若对称轴在定义域内,则0《=0.5a〈=1 即 0<=a<=2比较f(1),f(0)
若f(1)<=f(0) 即a<=1 时值域为(f(1), 1.25a^2-1)即(a^2+a-2, 1.25a^2-1)
此时a^2+a-2<1.25a^2-1 化简得(a-2)^2>0恒成立
若f(0)
此时a^2-1< 1.25a^2-1 即 a^2>0恒成立
综上所述,当a<=0时f(x)的值域为[a^2+a-2,a^2-1],
当0<=a<=1时f(x)的值域为(a^2+a-2, 1.25a^2-1)
当1<=a<=2时f(x)的值域为(a^2-1, 1.25a^2-1)
当2<=a时f(x)的值域为[a^2-1,a^2+a-2]