设函数f〔x〕对任意x,y属于R,都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,且x＞0时,f〔x〕＜0.⑴证明f〔x〕为奇函数,⑵证明f〔x〕在R上为减函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 15:24:50

设函数f〔x〕对任意x,y属于R,都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,且x＞0时,f〔x〕＜0.⑴证明f〔x〕为奇函数,⑵证明f〔x〕在R上为减函数
设函数f〔x〕对任意x,y属于R,都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,且x＞0时,f〔x〕＜0.
⑴证明f〔x〕为奇函数,⑵证明f〔x〕在R上为减函数

设函数f〔x〕对任意x,y属于R,都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,且x＞0时,f〔x〕＜0.⑴证明f〔x〕为奇函数,⑵证明f〔x〕在R上为减函数
(1) 【证明f〔x〕为奇函数,即证明 f(-x)=-f(x)】
f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,将 x=0 ,y=0 代入 ,可得：f(0)=f(0)+f(0),那么 f(0)=0
将 y=-x 代入 f(0)=f(x)+f(-x) =0 那么：f(-x)=-f(x)
因此 f〔x〕为奇函数
(2) 【证明f〔x〕在R上为减函数 ,即证明：当x1＜x2 时候,f(x1)>f(x2)】
先设 x1＜x2 ,由f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕可得:f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1),
∵ x1＜x2,∴ x2-x1>0
由题目中：且x＞0时,f〔x〕＜0 可知：f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)

证明：1. f（0）=f（0+0）=2f（0），所以f（0）=0
f（0）=f（x+（x））=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x），即f（x）为奇函数
2.f（x+1）-f（x）=f（x）+f（1）-f（x）=f（1），因为x=1＞0，所以f（1）＜0
所以f（x）在R上为减函数...

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证明：1. f（0）=f（0+0）=2f（0），所以f（0）=0
f（0）=f（x+（x））=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x），即f（x）为奇函数
2.f（x+1）-f（x）=f（x）+f（1）-f（x）=f（1），因为x=1＞0，所以f（1）＜0
所以f（x）在R上为减函数

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显然成立

(1) x = 0, y =0, f(x+y) = f(0) = f(x) + f(y) = f(0) + f(0)
f(0) = 0
y = -x: f(x+y) = f(0) = 0 = f(x) + f(-x)
f(-x) = -f(x)
f〔x〕为奇函数
(2)d>0, f(x+d) - f(x) = f(x) + f(d) - f(x) = f(d) < 0
f〔x〕在R上为减函数

y=0时，f（x+0）=f（x）+f（0）：f（0）=0；y=-x时；f（x-x）=f（x）+f（-x）；f（x）=-f（-x）；所以其为奇函数；令x1>x2,设x=x1，y=-x2，则，f（X1-X2）=f（X1）+f（-X2），而f（-X2）=-f（X2），则，f(X1-X2)=f(X1)-f(X2),又X1>X2,得到X1-X2>0,说明，f(X1-X2)<0,推出f(X1)-f(X2)<0...

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证明：（1）令x=y=0，则有f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），所以f（0）=0.再令y=-x，则f（x-x）=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0，所以f〔x〕为奇函数。
（2）设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+[-f(x2)]=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,所以f〔x〕在R上为减函数