正整数a,b,c,d,满足等式ab=cd,求证:k=a^1998+b^1998+c^1998+d^1998是合数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 13:20:47

正整数a,b,c,d,满足等式ab=cd,求证:k=a^1998+b^1998+c^1998+d^1998是合数
正整数a,b,c,d,满足等式ab=cd,求证:k=a^1998+b^1998+c^1998+d^1998是合数

正整数a,b,c,d,满足等式ab=cd,求证:k=a^1998+b^1998+c^1998+d^1998是合数
假设 a不等于c,b不等于d,否则易证
首先,a与b必定一偶一奇,c与d同理 ,否则易证
设a=2^m * p,c=2^n *q,p与q均为奇数,由ab=cd可以推出m=n
则两边消去2的幂后,得到pb=qd
假设p,b互质,则q和d一定一个是p×b,一个是1,不妨设q=p×b,d=1,则c=a×b,则k=a^1998+b^1998+(ab)^1998+1=(a^1998+1)(b^1998+1)是合数
同理q与d互质时易证
假设p,b不互质,q与d不互质,设p,b最大公约数为s,q与d最大公约数为t,则
p=sp',b=sb',q=tq',d=td',其中p'与b'互质,q'与d'互质
则pb=qd可以得出s^2×p'×b'=t^2×q'×d'.如果s和t不互质,则p,b,q,d就有大于1的最大公约数r,那么k必定包含r^1998这个因子,为合数.若s和t互质,那么由式子s^2×p'×b'=t^2×q'×d',s^2必被q'×d'整除,由于q'和d'互质,所以只有q'和d'一个是s^2的整数倍,一个是1,同理p'和b'一个是t^2的整数倍,一个是1,那么p'b'q'd'四个数,必定两个相等,两个是1,带入k仍然易证为合数