作业帮问数论倒数（逆）的运算性质若ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,是不是一定有（a+b）（x+y）≡1（mod m）?如果不是,那么成立条件是什么?我表述的也不是太清楚。原始式子是这样的：这个加法为什
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 03:30:05
问数论倒数（逆）的运算性质若ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,是不是一定有（a+b）（x+y）≡1（mod m）?如果不是,那么成立条件是什么?我表述的也不是太清楚。原始式子是这样的：这个加法为什
问数论倒数（逆）的运算性质
若ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,是不是一定有（a+b）（x+y）≡1（mod m）?
如果不是,那么成立条件是什么?
我表述的也不是太清楚。
原始式子是这样的：
这个加法为什么可以做呢？
原题见于《奥数教程.高三年级》（第五版·余红兵 编著）103页例4
问数论倒数（逆）的运算性质若ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,是不是一定有（a+b）（x+y）≡1（mod m）?如果不是,那么成立条件是什么?我表述的也不是太清楚。原始式子是这样的：这个加法为什
不是你所描述的那样.
ax≡1（mod m）表示的是 ax 除以m,余数 为1.
比如 2*4/7 的余数 为1,4/7的余数因为是 （p+1)/2 ,这样的表述应该跟严谨一些.没有说余数有1/2的说法.虽然你补充问题给的例子最后答案正确,但是过程很不严谨.正确的做法为
2^(p-1) ≡ 1（mod p）
则 2^(p-2) ≡ （p+1)/2（mod p）
同理 3^(p-2) ≡ （p+1)/3（mod p）
6^(p-2) ≡ （p+1)/6（mod p）
2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2) ≡ （p+1)/2+(p+1)/3+(p+1)/6（mod p）
≡ p/2+p/3+p/6 +1（mod p）
≡ p+1（mod p）
≡ 1（mod p）
例子中这样计算只是最后几个数加起来得到了1个P,这个P处以P的余数为0.
所以
ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,
有 x≡(m+1)/a（mod m）,y≡（m+1)/b（mod m）,
（a+b）（x+y）≡(a+b)*[(m+1)/a +(m+1)/b] （mod m）?
不过可以有 ax+by ≡2 （mod m）
不一定，例如m=3,a=x=2,b=1,y=4. （a+b）（x+y）=18≡0 (mod 3).
可以计算出，（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx≡ay+bx+2（mod m),这个是一个条件。
从环论角度说，ax≡1（mod m），by≡1（mod m），表示，在Z/(m)中a和x,b和y互为逆元，但是a+b与x+y不一定互为逆元
Z/(...
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不一定，例如m=3,a=x=2,b=1,y=4. （a+b）（x+y）=18≡0 (mod 3).
可以计算出，（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx≡ay+bx+2（mod m),这个是一个条件。
从环论角度说，ax≡1（mod m），by≡1（mod m），表示，在Z/(m)中a和x,b和y互为逆元，但是a+b与x+y不一定互为逆元
Z/(p)是个域，里面的运算和实数啊，有理数运算类似
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